rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 245 



wiesen haben, dafs eine Involution mit Hülfe aller charakteristischen Rei- 

 hen auf andere Gebilde projectivisch bezogen werden kann. 



§ 181. Die Gleichung 



(.^-«i)(.t--«,) . . . (.^•-«„-.,)-K^'-^l)Ci■-/22) • • • O^--^..,) = 1) 



einer Involution (n4-l)ter Ordnung entsteht aus der Elimination von ij. 



zwischen 



(.i;-«j)---(.^-«.-. + ,) -m(^-/3i)...(^-/3„_„,,,) -0, 2a) 



K^—ßn-m.,) ■ ■ ■ C^- — ^.•+,) — K^—^n-^^,) ■ ■ ■ (-^—^n^t) = ^ , 2b) 



ferner aus der Elimination von y. und ^ zwischen 



(x—a{)...(x—cc^_J —^(j:—ß,)...(x—ß„_J =0, 3a) 



mG^-/3„_„.,,) -?C'^'-«.-,„.>) =0' 3b) 



a(.^-/3„_,„,,)...(x-/3„,,)-m(x--"._,„,,)... Gl- -«„.,) =0. 3c) 



Hier kann man nun zuerst m eliminiren und bekommt so als äquivalent 



zu 1) das neue Gleichungspaar 



(x—a{) . . . (a- — «„_ J —^(x—ß;) . . . (.c— /3„„ J = , 4a) 



AG^-/3„_„,, j . . . (^— /3„,,) - ^(.T_«_,„^ j . . . Gx--«„.,) = . 4b) 



In diesen analytischen Operationen ist das Verfahren des § 41 be- 

 schrieben. Die projectivischen Reihenpaare 2 a) und 2 b) dienen zunächst zur 

 Definition der Involution. Hierbei sind A^A^- ■ . A^_„,^j und B^B.^. . . i?„_„.+j 

 vorläufig zwei ganz besondere Bestandtheile der ausgezeichneten Gruppen 

 Aj^A^ . . . A^_^^ ,B^B^... B^^y Es soll eben im § 41 gezeigt werden, dafs 

 innerhalb dieser ausgezeichneten Gruppen wenigstens die ersteren beliebig 

 ausgewählt werden können, und dafs auch m innerhalb der Grenzen von 1 

 bis n willkürlich ist. Die Gleichung 2 a) wird im Texte mit I bezeichnet, 

 und 2 b) geht nach Fixirung von A auf A^ in eine Reihe IIj über, die nun 

 mit I eine bestimmte Gruppe der Involution erzeugt. Da nur von n auf 

 7Z+1 zu schliefsen ist, so kann man für die Involution I alle Erzeugungs- 

 weisen des § 32 voraussetzen. Man kann ihre zu Mj , Mo > ^'s 5 • • • gehö- 

 renden Gruppen erzeugen durch die Reihe III mit der Gleichung 3 a) und 

 durch die Reihen 1^,1^,13,..., in dei-en Gleichungen 3 b) übergeht, 

 wenn man die speciellen Annahmen für ju macht. Fixirt man anderer- 

 seits ^ auf ^j , ^2 ) ?3 5 so erhält man aus 3 b) der Reihe nach die Glei- 

 chungen der charakteristischen Reihen Ij ,13,13, ... der Involution 1. 



