rein geometrischen Theorie der a/gebraischen ebenen Curven. 247 



(«2— V2)C'*'-— «i)/G'^') — ^^1(^2— v,)(-c— /5i)i/0i') 



- {«2-V2-^(/3,-7,) ( (.^■-72)K-0 . '^^^ 



]^(.'c) = ist die Gleichung der Gruppe 6. Jetzt eliminire man aus 2 a) 

 und 3a) (x — ß^(j{x), aus 2b) und 3b) (x — -«2), so erhält man: 



(1— /a)(cr2— 7o)0c— «i)/('^') + /^!«2— 'y2— ^1(^2— '>'2)K-^-— 'y2)K-^0 = o. 4a) 



(l — fx)(rt2 — 72)G'C— ^2) -^ iK'-'^i— 1^-2) 0^—^-2) =0- 4b) 



Die Elimination von fx ergiebt, von constanten Factoren abgesehen, die 

 Gleichung der untersuchten Gruppe. An die Stelle dieser beiden Glei- 

 chungen kann man, wie es im § 43 geschieht, die drei folgenden treten 

 lassen : 



{«2— 72— /^(/S.,— 7,)} l)(x) — 5 («,— r3)/Cc) = . 5a) 



(l — m)(.*' — «i) H-/-^?('^'~'>'2) =0. 5b) 



(1 — ix) («2 —7.2) (x —ß.2) -htJ- («2 — ß^X^ —y%) = . 5 c) 



Indem man endlich zwischen den beiden letzten Gleichungen fj.(x — 7.,) 



eliminirt, bekommt man 



{«2 — 72— ^1 (^2 — V2) } f; {x) — ^ („2 — 72)/(.r) = . 6 a) 



(«2— /32)(a;— «,) _o(«2— 72)C-^'— Ä,) = 0. 6b) 



Die Elimination von ^ aus diesen Gleichungen liefert bis auf einen Zah- 

 lenfactor die Gleichung (x — y^h(x) ^= der Gruppe CGy Da nun 

 l){pc) = die Gleichung von (§, ist, so drücken 6a) und 6b) analytisch 

 die Thatsache aus, dafs C(\ eine Gruppe der Involution AAy,(§,B^ ist. 

 Dieselben zeigen auch, dafs bei der Erzeugung von CC^ den Gruppen 

 (5 und A (mit der Gleichung /{x) = 0) die Elemente A^ und B.y 

 zugeordnet werden. Im § 43 wurde bewiesen, dafs der B^ enthalten- 

 den Gruppe 33 von A , (i der Punkt C[ zugeordnet wird, der mit Cg ein 

 Paar der Involution A^A.2 , B^B.^ bildet. Wir wollen dasselbe analytisch 

 zeigen. Das Paar €[ C.^ ist das Erzeugnifs zweier specieller Reihen 5 b) 

 und 5 c), und zwar mufs, da in allen Reihen^Jaaren 5 b) und 5c) ^4^ und 

 i>2 sich entsprechen (für // = 0), in diesem besonderen Falle -ßj/lo ein 

 Paar entsprechender Punkte sein. Alsdann ei'halten wir aus 5 b) und 5 c) 

 zwei Reihen 



X — a^ — y.(x — /3j = , (x — ß^) — A>f(,r — ß^) = , 

 deren Erzeugnifs wirklich ein Paar der Involution .4^/12,51^2 i^^- 



