rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 249 



Es handelt sich dann nur darum, zu zeigen, dafs 

 j42 ^2 -^1 ■^i A Ä^ X2 C2 Z^ 

 ist. Wenn diese Beziehung allgemein gilt, so gehören alle Elemente, die 

 eine Gruppe von AA^A.2 , BB^B.^ bilden, auch zu einer Gruppe von 

 AA-^^A^ , CC^C^; mit ihr ist also zugleich die Identität beider Involutionen 

 nachgewiesen. 



Die Reihe projectivischer Beziehungen des § 44 stellt sich analy- 

 tisch in der Form einer Reihe von Doppelvorhältnifs- Gleichungen dar. 

 Für das erste Doppelverhältnifs (A^B^CoZ^), das wir erhalten, wofern 

 wir die feste Gruppe von AAi,BBy mit (SC2 zusammenfallen lassen, 

 brauchten wir die Gleichungen 



(A^B^Z^D^) = (BB^,AA^,(SC2,^D.^, 1) 



(AA^,BB^,^C.,,^D2) = (AyB^C^E^), 2) 



(4(5332)") = (a^i^iA). 3) 



In dem linken Doppelverhältnifs von 3) bedeuteten 33 und 2)" die durch 

 jBj und Dg bestimmten Gruppen der Involution A , (5. Für die Involu- 

 tion nter Ordnung AAj^,&C.2 haben wir nach den Voraussetzungen unseres 

 Inductionsschlusses alle Erzeugungsweisen der besprochenen Art (§ 180) 

 vorauszusetzen; wir können also ihre Gruppen aus den Reihenpaaren 



4,6,... Ä C2 , 4i , . . . 

 entstehen lassen. Da der B^ enthaltenden Gruppe 33 .4^ ^C.^-, B^ und 

 das aus 3) ermittelte Element E^ zugeordnet werden müssen, damit AA-^^, 

 QCo , BBj^ ,'S)Do entstehen, so ist dann auch 2) als richtig angenommen. 

 Aus 1) erhält man durch Multiplication mit (A2 .ßg Co .^i) die 

 Gleichung 



(A,B,CoZ,)(BB^ , AA^ , öQ , ^D^) = (A,B,C,Z,){A,B,Z,Do) 

 = (A,B,C,D,) 

 oder 



(42^2 ^2^1) == {A2B,^C,^D2)(AA^ ,BB^,(S.a2, ^D^). 4) 



Andererseits kann man 2) auf die Formen bringen 



(AA,,BB„(§.a2,^D.2) = 1—(A,C,B,E,), 



i — (AA„BB,M',^,hD2) = (A.a^B.E,), 



und hieraus folgt in Verbindung mit 3) 



3Iath. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1887. I. 32 



