rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Ciirven. 253 



Dies ist eine Gleichung ?iten Grades, von der für den Inductionsschkifs 

 vorausgesetzt werden mufs, dafs sie « Wurzeln besitzt. Zugleich bildet 

 aber auch die Gruppe 3) augenscheinlich mit dem Element D^ oder x == oo 

 ein Glied der Involution aus irgend zwei homologen Gruppen von 1) 

 und 2). Die Gleichling geht nun an der Grenze, für verschwindendes S, 

 über in 



«lOr— «2)(.r— «3) . . . (.r — «, + ,) + «aOt— «3) . . . (,r_a^^j)(,x' — «j) 4) 



1=1 ' 



in die bekannte Gleichung der Elemente, die in Gruppen der Involution 

 mehrfach enthalten sind. 



Die Gruppe 4) gestattet folgende Darstellung 

 = (.-C— «1) {«2(.r — ag) . . . (x—a^^;) H- . . . a^^^{x—a^) . . . (x—aj) 5) 



+ «lO-c— sX^"— «3) ■ • • (*■— «.+1) = G^'— «1) • • • (-c— «„+i) ~ + ^ ^. , 



und darnach folgende projectivische Erzeugung 



(•^— «2) • • • 0^—«..,) {2 £t; - ^ ^j = , 6a) 



a.j^(x — tto) + a-(.c — ttj) = . 6b) 



Für er := erhalten wir in Ga) die Gruppe ü) der Doppelelemente von 

 D^^AA^; dieser Ginippe wird also A^ zugeordnet. Für tr = 00 erhalten 

 wir A und A^ als entsprechende Gebilde. Wenn wir nunmehr o" = «g 

 setzen, so erhalten wir in 6a) eine Form mit dem Factor (a; — «2)5 ^'^^ 

 die Gleichung der Gruppe (S der Involution 4,2); zugeordnet wird ihr 

 das Element 



a^(x — «2) + a^{x — «j) = , 7) 



also das zweite Doppelelement @j der Involution Dl,A^A^. Durch diese 

 projectivischen Gebilde 



wird auch im geometrischen Sinne (§ 54) die Gruppe der Doppelelemente 

 bestimmt. Wir gelangen zu der soeben wieder beschriebenen Erzeugung, 

 indem wir die im § 182 auch analytisch bestätigte Methode zur Auffin- 

 dung der durch D.^ bestimmten Gruppe der Involution 3) benutzen und 

 die erhaltenen projectivischen Gebilde einen Grenzübergang machen lassen. 



