254 E. K ö T T E R : Gr'undzüge einer 



Hat die Involution (»+l)ter Ordnung D^ zum (?i + 1) fachen 

 Element, so lautet ihre Gleichung : 



8) G^— «i)(^' — «o) . . . (.t'— «„4-1) = ^ • 

 Die Gleichung ihrer Doppelelemente ist dann : 



9) (.X- — a^) . . . (.r — «„^ J + («—"3) • • • (^— ««+i)C^' — «1) + • • • 



c^'— «1) • • • (■*'—«.) = o^-— «i)G^"— «2) • • • G^'— «»+1) 2^-«; ^ ^ ' 



i = l 



§ 185. Die allgemeine Involution G" + 0^*?!' 0''dnung kann höch- 

 stens 2?i Doppelelemente besitzen. 



Wir betrachten die beiden projecti vischen Involutionen 



la) {x—a^(x—a^) . . . (x'— a^^^) — A(x — ß;)(x—ß^) . . . (x—ß^^;) = 0, 



Ib) (^—«1(1 + ^)) • • • (^—«.-.1(1 + '5)) 



— Ä(^--/3,(i + ^)) . . . (.1— /3„^^(i + ^)) == . 



Hierin sollen x;a^,a^, ... a^_^^; ß^,ß^, ... ß^_^^ wieder die Theilverhältnisse 

 der Elemente X',A^,A^ , . . . A^^^ ; B^^B^ , ■■■ ß„+i hinsichtlich Z)^ und D^ 

 bezeichnen. Elemente, die zwei homologen Gruppen angehören, sind aus 

 der Gleichung 



2) (^-«J . . . (x-a^^X^-ß^(l + ^)) . . . {x-ß„_,^ (1 + ^)) 



— (.X—ß,) . . . (*--/3„,0(^' — «1(1 + ^)) • • ■ (•''•-«n+l(l + '5)) = 



zu entnehmen. 



Ist x^=y(l-{-^) eine Wurzel von 2), so gehören die Elemente 

 mit den beiden Theilverhältnissen 7 und 7 (l H- (5) derselben Gruppe der 

 Involution 1 a) an. Von 2) kann man den Factor ^ ablösen. Ihre Wur- 

 zeln geben an der Grenze diejenigen Elemente an, die in ihren Involu- 

 tionsgruppen mehrfach auftreten. Nach den Voraussetzungen unserer In- 

 ductionsschlüsse können wir nicht behaupten, dafs solche Wurzeln vor- 

 handen sind, aber analytisch kann gezeigt werden, dafs vmsere Gleichung 

 höchstens 2 (« + l) Wurzeln besitzt. Da in der Gleichung kein constan- 

 tes Glied auftritt, und dieselbe in Wirklichkeit nur bis zum (2?z+l)ten 

 Grade ansteigt, so kennen wir 2 Wurzeln, und 00, derselben von vorne 

 herein; unserer Aufgabe genügen höchstens 2n Elemente. 



