rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 259 



Halbkette der Involutionsebene 1 a). Mit veränderlichem r wird jedem 

 Kreisbogen IIb) eine bestimmte Halbkette IIa) zugeordnet. Der Punkt 

 A^ bestimmt an A2,A^,. .. A,_^,A,_^^, ... A„^^,B.2,B^ ,... B„^^ speclelle 

 Winkel 02 , </)3 , . . . <^,_^ , </.,+i , . . . <^„+i , <^2 , </)3, . . . cp;^_^^; die Summe der- 

 selben sei %j. Alsdann erhält man die Richtungen der Halbtangenten von 

 IIa) in den Punkten A^^A^,... A„^^ aus den Gleichungen 



(p2 + X2 = ^ — ^ ' '/'S + >'^3 = ^ — ^ ' • • • '/''. + 1 + ^« + 1 ^ ^— ^ • 12) 



Analog bezeichne man mit %/ den speciellen Winkelwerth <p^-i-cp^~\ 



<p^_^_^ — (^2 ''fk-i — '/'i+i 'fn+i ^ür Bi^; dann sind offenbar die 



Winkel, welche die Tangenten in B^ , B^ , . . . B^_^^ bestimmen, aus den 

 Gleichungen 



X^—cp;^T—ß ; %3— <?3=T— /3; .. . %„Vj — (/);^i=T — /3 13) 



zu entnehmen. Hieraus geht hervor, dafs die beweglichen Tangenten in 

 ^12,^3, .. . A„^j sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit t um die bezüg- 

 lichen Punkte drehen, die in B^,B^,...B^^^ aber in entgegengesetzter Rich- 

 tung sich gleichmäfsig bewegen. Von den Tangenten des Kreisbogens IIb) 

 schreitet die eine in B^ in der positiven constanten Richtung, die andere 

 in A^ in der entgegengesetzten Richtung vorwärts. Die Elimination von 

 T aus 1 1 a) und IIb) ergiebt die Gleichung 7 a) der zu betrachtenden Halb- 

 kette; dieselbe wird also erzeugt durch die Halbkettenbüschel IIa) und 

 IIb). Nun wird vorausgesetzt, dafs jede Gleichung «ten Grades (§ 32) 

 n Wurzeln besitzt, und ferner, dafs dieselben sich mit den Coefficienten 

 der Gleichung stetig ändern (§ 39). Dann mufs jede Halbkette IIa) aus 

 ?i Ranken bestehen, welche die Vm\\.i& A^,A^, ... A^^^ mit den Punkten 

 B.2,Bg, . . . 5„+j verbinden. Jedem Punkte eines Kreisbogens B^,A^ ent- 

 sprechen nämlich n verschiedene Punkte der Halbkette. Für die Anfangs- 

 lage fallen dieselben mit ^g , ilg , . . . A^^^, für die Endlage dagegen mit 

 ^2 5^3, • • • ^„+1 zusammen; für die Zwischenlagen aber verändert sich 

 die Gruppe stetig. 



Die Halbkette (n+l)ter Ordnung wird alsdann (§ 59) auf ihre 

 Stetigkeit untersucht, nachdem zuvor festgesetzt ist, dafs keiner der höch- 

 stens 2n singulären Punkte der Ebene auf ihr liegen soll. Alsdann mufs 

 jeder Punkt P derselben einem einzelnen unverzweigten Zuge angehören. 

 Die auseinander gesetzte Erzeugungsweise der Halbkette (n + l) ter Ord- 



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