rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 261 



X2 -+- %n H %n + i — (7.2 + 7.3 H 7,D = ^ + (n'—m') t . IG) 



Die beiden Halbtangenten von 14a) in D.^ bestimmen mit tler positiven 

 Richtung der x Axe die Winkel 



Vo = ^ — {Z2 + Vy.i H y^n+i — ^3 7;'J+il — m"- . 17) 



Die Halbtangenten in D^ von 14b) bestimmen die Winkel 



^2 = CT — £4-72— ?i"T. 18) 



Hieraus folgt aber mit Rücksicht auf 16) 



72 — ^2 = '^0'^ • 19) 



Es berühren sich mithin irgend zwei entsprechende Halbketten 14a) und 

 14b), wenn die Gleichung 16) besteht. Umgekehrt, wenn dies auch nur 

 bei AA^,^D^,BB2 und B^,D^,Ay eintrifft, so enthält die Kette 

 AA.^, DD-^^^'S^B^ den Punkt D^. Würde nun noch B. ,D^,Ay von der 

 entsprechenden Halbkette AA^.t'^'D^, B' B.^ berührt , so enthielte noch 

 die zweite Kette AA^ ,X)' B.^, DD^ den Punkt D^. Da beide Ketten 

 aufser AA^ nur noch genau eine Gruppe gemeinsam haben, so mufs dann 

 Z)., in /)Z)^ vorkommen. Enthält also die untersuchte Halbkette il.4j^., , 

 BB^B.2 keine der singulären Gruppen, so kann /Ij aus der zweiten Gruppe 

 so gewählt werden, dafs A^, D^, B^ und AA^ , D^ ^BB^ sich nicht be- 

 rühren, und dafs auch die letztere Curve D.2 nicht zum Doppelpunkte 

 hat. Aus diesem Satze wird gefolgert, dafs die Halbkette überall unver- 

 zweigt ist und mit n-\-l Zügen die 2 (?i + l) Punkte il(,jB^ verbindet. 



Im zweiten Theile des Beweises wird (§§ 61 und 62) gezeigt, dafs 

 jede der ?i + 1 Ranken einen der Punkte A^ mit einem der Punkte B^ 

 verbinden mufs. 



Hiermit war der Haupttheil des Beweises geliefert. Es war nun leicht 

 zu zeigen, dafs auf jedem einzelnen Zuge A^ B. ein Punkt der gesuchten 

 Gruppe lag. Der analytische Inhalt des angewendeten Schlusses ist der: 

 Die Gröfse ] '," ' "."^ ^ ändert sich von bis + 00, während der Punkt 



Vi r., . . . r„ ^ j 



X den Zug Af^B. durchläuft; einmal wenigstens nimmt also der Quotient 

 den vorgeschriebenen Werth ^^ (6 und 10 b) an. Da die untersuchte Gruppe 

 höchstens « -}- 1 Punkte enthalten kann , so findet sich eben genau ein 



