rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 267 



loger Gruppen U ,V ,W, Z , . . . liegt. Alle diese verschiedenen Leitinvo- 

 liitionen sind zu einander projectivisch. 



Die Theoreme, welche wir soeben erläutert haben, sind auf geo- 

 metrischem Wege in den beiden ersten Abschnitten des dritten Capitels 

 erwiesen worden. Da uns die genaue Darlegung unserer dortigen Be- 

 weismethoden hier zu weit führen würde, so genüge die Bemerkung, dafs 

 die Einführung der hochwichtigen Schaaren mit Hülfe ganz derselben Schlüsse 

 gelingt, die in der Geometrie des Raumes auf die Eegelflächen führen. 



§ 189. Die Involution /aten Ranges und mter Ordnung liefert 

 dieselbe Beziehung zwischen den Elementen zweier einförmiger Gebilde, 

 wie eine verschwindende ganze Function 



f(y,x) = o, 1) 



welche die Theilverhältnisse y und x zusammengehöriger Elemente bis zu 

 den Potenzen m und |w enthält. 



Man kann bekanntlich (ß -+- l)^ Constanten b'-^^ so bestimmen, dafs 

 die Gleichungen stattfinden : 



^i = (x — ai)(^ — «2) • • -(.^—a^ + i)^—-- ■ (z = 0,l,2,...,u) 2) 



Man ordne nun f(y , x) nach Potenzen von x und setze für dieselben 



ihre Werthe aus den Gleichungen 2) ein, so nimmt 1) die Form an: 



"+1 „ 

 (x— ai)(a;— 03) . . . (a;— a„^,) 2 ^3^ = 0- 3) 



i = l 



Hierin bedeuten u^^u.^, .. • «^^j Polynome mten Grades in y; sie erge- 

 ben, gleich Null gesetzt, die Gleichungen bestimmter Gruppen U.^,U^,... 

 ?7„^j des vorliegenden Trägers. Jedem Werthe von x, also jedem Ele- 

 ment des einen Trägers, gehört eine bestimmte auf dem anderen liegende 

 Gruppe zu; den Werthen a^, a^ , . . . a^^^ entsprechen U^ , U^, . . . t^„+j. 

 Offenbar können die |w 4- 1 Gruppen U^,U^, ... U^^^ ganz willkürhch 

 gewählt werden, und wir verfügen dann noch über die Constanten der u^. 

 Bestimmen daher die Gruppen U^,!!^, .. . U^+i ein Netz juter Stufe, so sind 

 alle wesentlichen Constanten der Form 3) bekannt, wenn für irgend einen 

 Werth a^Q von x eine Gruppe des Netzes Ü^JJ^ . . . U^^^ gegeben ist, die 

 mit keinen jw. der gegebenen Gruppen zu einem Theilnetze (w — l)ter 

 Stufe gehört. 



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