rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 277 



%^(y , x) verschwindet für alle gesuchten Werthepaare; von den aufser- 

 wesentlichen gemeinsamen Nullstellen der yj-,Xy ■> ^') enthält sie nur die- 

 jenigen nicht, welche durch die Annahme 



sich bestimmen. Nun enthält 7oi(2/,^') y bis zur (m -f- n + ?-)ten, x bis 

 zur (jj. — l)ten Potenz. Daher besteht die Recursionsformel: 



„,.,) = ( „ , . j-0^ + r). + n. 13) 



Einen speciellen Fall (r = , v ^^ iu) dieser Formel erblicken wir in 7). 

 Der Beziehung 13) genügt die Annahme 



V n , v) 



tf-f-Hu. 14) 



Wirklich besteht die Identität: 



mv -\-niJ. = (in -\- n -+- r)v -^ n (,a — l) — (n -[-r^v -[- n . 



Der erste Fall der Formel 14) (^ = 1 , i» = l) trift't aufsei-dem nach un- 

 seren früheren Entwickelungen zu. 



Von der alloemeinen Zahl gemeinsamer Stellen können in besonderen 

 Fällen einzelne zusammenfallen, andererseits können aber auch die Functio- 

 nen ip(y,x) und ■^'(y,«) für unendlich viele Stellen gleichzeitig verschwinden. 

 Für alle diese Stellen verschwindet auch x^Q/^x). Setzt man voraus, dafs als- 

 dann Xi(y,x) und ■d/(y ,x) eine ganze Function von y und x als gemeinsamen 

 Factor enthalten müssen, so folgt dieselbe Thatsache für ^^(y^x) und (p(y,x~). 

 Dieselbe ist wirklich richtig, weil sie für den speciellen Fall feststeht, dafs 

 ■J^(y,x) und (f'(yy^) lineare Functionen von x sind. Hieraus folgt insbesondere, 

 dafs es, wofern g(y , x) nicht in Theile zerfällt, nur eine endliche Zahl von 

 Gruppen g(y,XQ) = mit mehrfachen Elementen giebt, denn die betreffenden 

 Elemente gehören zu den gemeinsamen Nullstellen der beiden Functionen 



g(y,x) und ^^{giy^x)}. 



Was für X gilt, ist ebenso für y richtig. 



Der geometrische Ausdruck für die soeben behandelte Aufgabe 

 ist der, die Coincidenzstellen zwischen zwei Involutionen mter Ordnung, 

 )u.ten Ranges und ?iter Ordnung, vten Ranges aufzusuchen, welche ent- 

 weder selbst projectivisch sind, oder zu projectischen Zeigern gehören. 



