280 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



welches ein von Q ausgehender Strahl q an QR und QP bestimmt, x 

 dagegen als das zu PR und PQ gehörende Theilverhältnifs eines von 

 P ausgehenden Strahles p. Alsdann stellt 5) eine Strahleninvolution dar, 

 von der jede Gruppe mit dem zugehörigen Strahle jj sich in m Punkten 

 eines Punktgebildes schneidet. Aus 6) erhält man Strahlen, die sich im 

 Allgemeinen projectivisch bewegen, jedoch perspectivisch , wenn c ver- 

 schwindet, und 6) eine Gerade darstellt. Da dann ^ der Coincidenzstrah- 

 len zwischen den Involutionen 5) und 6) mit QP{y = od) zusammen- 

 fallen, so besteht unser Curvengebilde aus dem ij. fach, zählenden Strahle 

 QP und aus einem anderen Gebilde mter Ordnung. Den ersteren Be- 

 standtheil betrachteten wir als unwesentlich; wir konnten zeigen, dafs 

 der zweite Theil mit irgend einem ^-tfach zählenden Strahle QP zusam- 

 men durch ein Strahlbüschel mit dem Centrum P und eine projectivische 

 Involution «iter Ordnung erzeugt werden konnte. 

 Mit den drei Involutionen 



7a) ^^l(2/ , a,•o)^^(^/ , .^•o)';'(3/ , x) -^ , 



7b) (p(y,XQ)4^(y,x)4y^{y,x)^0, 



7 c) {x—x^)%l^y,x) = 



erzeugt das Strahlbüschel mit dem Centrum P im Wesentlichen drei Cur- 

 ven (m + n + r)ter Ordnung. Sind U, V, W die drei Gruppen, welche 

 die drei Involutionen mit einem projectivischen Strahlbüschel gemeinsam 

 haben, und ist q^ der zugehörige Strahl zu demjenigen p^ mit dem Theil- 

 verhältnisse .Tq, so sind U, V und Wq^^ drei Gruppen einer Involution 

 (m -h ?i + r + m) ter Ordnung. Irgend eine Gerade wird daher auch von 

 den drei Curven in einer Involution (m -f- ?i + r) ter Ordnung geschnitten. 

 Die dritte zerfällt also in den Strahl p^ mid in eine Curve (m + ?i + r — 1)- 

 ter Ordnung; die Involution y^^ (?/ , a;) = ist mithin von der Ordnung 

 m + n-f-r — 1 und dem Range jx — 1. Nachdem dies einmal bewiesen 

 war, konnte die oben bereits beschriebene Abzählungsmethode auch auf 

 geometrischem Wege begründet werden. 



Das vierte Capitel der geometrischen Entwickelungen. §§ 193 — 196. 

 § 193. In dem letzten Capitel unserer Arbeit wenden wir nmi 

 die bisherigen Resultate auf Curven von gegebener Ordnung an. 



