rein geometrischen Theorie der alrjehraischen ebenen Cnrven. 295 



Zwischen n in einander liegenden einförmigen Gebilden kann man eine symme- 

 trische wfach lineare Beziehung einleiten. Von jeder Gruppe zusammengehöriger Ele- 

 mente kann man n- — 1 beliebige den n — 1 ersten einförmigen Gebilden zuweisen, das nte 

 entspricht denselben im letzten Gebilde. Man kann dann annehmen, dafs auf solche Weise 

 ein Polarsystem wter Ordnung entsteht, welches, was freilich nur im speciellen Falle 

 7( = 3 erwiesen ist, durch sein Ordnungsgebilde, seine «fachen Elemente, bedingt ist. Jedes 

 Element irgend einer Gruppe ist die gemischte Polare der n — 1 übrigen Elemente dersel- 

 ben. Während Herrn H. Thieme a. a. O. (Note 14) hauptsächlich der Nachweis be- 

 schäftigt, dafs Polarsysteme beliebig hoher Ordnung möglich sind, geht Herr H. Wiener 

 a. a. O (Note 14), und im speciellen Falle Herr B. Klein, hauptsächlich darauf aus, ein 

 einmal gegebenes Polarsystem nun auch auf möglichst einfache Art zu bestimmen. 



Note 18 zu § 43. In der Abhandlung 

 „Zur Vervollständigung der Involutionen höherer Ordnung". Wiener Ber., Bd. Gig, 

 S. GOO 

 knüpft Herr Em. Weyr an die Definition der Involution durch ein Büschel von Curven 7iter 

 Ordnung mit einem (n — l)fachen Punkt an. Für den allgemeinen Fall braucht Herr Weyr 

 eine algebraische Grundlage. Dafs ein Element nur einer Gruppe einer Involution nter 

 Ordnung angehört, und diese Gruppe höchstens «Elemente enthält, zeigt Hr. Thieme 

 a. a. O., § 7 (Note 14). 



Note 19 zu § 51. Hieran lassen sich leicht die cyclischen Involutionen des 

 Herrn Lüroth (vergl. a. a. O., Note 1, 7) anknüpfen. Sollen zwei projectivische Reihen 

 cyclisch -projectivische Gruppen 



A^A.^... A^ , B,B. . . . ß„ , C'i Cs . . . C„ , . . . 

 zulassen, so müssen sie getrennte Doppelelemente Z>j , Z>2 besitzen. Die Involution Z)" , 

 A^A^ . . . A^ mufs mit ihrer entsprechenden, wenn man D^A^D^ . . .~K D^A2D^ . . . setzt, 

 zusammenfallen; beide können sich von einander nur durch die Anordnung unterscheiden, 

 weil sie zwei Gruppen Z)^' und A^A^. . . A^ entsprechend gemeinsam haben, und auch dies 

 nicht, weil D^ eine dritte sich selbst entsprechende Gruppe bestimmt. Die Involution 

 enthält daher alle cyclisch-projectivischen Gruppen, welche den beiden Reihen angehören, 

 und aus Gründen der Symmetrie auch das «fache Element D^- Jede cyclische Invo- 

 lution ist also eine solche mit zwei «fachen Elementen nach unserer Definition. Das- 

 selbe beweist Herr Wiener a. a. O. (Note 16) durch Betrachtung der Involutionscurve einer 

 auf einem Kreise gelagerten cyclischen Involution. 



Note 20 zu § 62. Der Beweis läfst sich folgendermafsen führen. Man lasse 

 zwei Personen von B^ und A^ aus auf einem von zwei nahen Bögen, die sich nur in 

 diesen Punkten treffen, fortschreiten, bis sie sich in irgend einem Punkte C begegnen. 

 Liegt dann der zweite Zug der einen zur linken Seite, so liegt er, weil beide Per- 

 sonen sich ansehen, der anderen zur rechten Seite. Weil aber beide Curven sich nur 

 in A^ und B-^ treffen, so mufs die zweite Curve während der ganzen Bewegung zur lin- 

 ken Hand der ersten und zur rechten Hand der anderen Person liegen. Die erste Per- 

 son mufs daher in A^ sich nach links drehen, um die Tangentenrichtung der zweiten 

 Curve vor sich zu haben, die andere mufs sich in S, zu demselben Zwecke um einen 

 kleinen Winkel nach rechts drehen. Mithin drehen Strahlen, die die beiden Winkel zwi- 

 schen den Tangentenpaaren in A^ und -Bj durchmessen, sich in entgegengesetzten Richtungen. 



