264 LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS. 
existe une pentasérie du premier ordre et de la pre- 
mière classe, ce sera une pentasérie telle qu'en cha- 
que point de l'espace se trouvera un couronnïde de 
feuillets à point fixe et dans chaque plan (pris avec son 
signe) de l’espace se trouvera un couronoïde de feuillets 
à plan fixe. Cette pentasérie sera donc complètement 
déterminée par un faisceau de cônes en chaque point 
de l’espace et par un faisceau de cercles dans chaque 
plan de l’espace. Il y a ici une certaine analogie entre 
la pentasérie du premier ordre et de la première classe 
dans la géométrie de l’espace feuilleté et le complexe 
linéaire dans la géométrie de l’espace réglé, puisque 
dans un tel complexe il y a en chaque point de l’espace 
un faisceau de droites (cône du premier degré) et dans 
chaque plan de l’espace un faisceau de droites (tan- 
gentes à un cercle de rayon nul). 
Démonstration de l'existence de la pentasérie du 
premier ordre et de la première classe : Soit (M, D, P,) 
un feuillet fixe; si l’on: construit l’hypercouronoïde 
dont (M, D, P,)est le feuillet polaire, on obtient une 
trisérie de feuillets (m, d, p,) telle qu’en un point 
quelconque m, il y a un seul feuillet (m, d, p,) et 
que, dans un plan quelconque p,, il y a deux feuillets 
(m, d, p,) correspondant chacun à une face du plan p,. 
Il en résulte que si, en chaque point m, de l’espace, 
on construit le couronoïde à point fixe dont le feuillet 
polaire est le feuillet (m, d, p,) qui se trouve en ce 
point, on obtiendra, en chaque point m, une bhisérie 
de feuillets (m, d p); les feuillets (m, d p) forment 
donc une pentasérie et celle pentasérie est du premier 
ordre puisqu'elle contient un couronoïde à point fixe 
en chaque point de l’espace. 
