'14 SURFACES DE RÉVOLUTION à 



donc 



f=m ^ ■= m cosh . p, ƒ , = m . p 



les équations connues du caténoïde. 



Les équations B donnent le même résultat. 



Les formules ci-dessus permettent de construire point par point 

 la courbe, pour chaque valeur de H et de m, le module étant 

 donné. Si nous voulons maintenant indiquer la forme générale 

 des deux courbes [H positif et H négatif) nous procédons de la 

 façon la plus pratique de cette manière: 



Nous groupons ensemble les formules obtenues ci-dessus 



fi ~ — -H^^^i + ~iJ ^1 - ^îî ^ i^h) 



(|ue nous transformons au moyen de l'égalité k = y^^ — jr ou 

 1 k 



^"— 1 



r k mk- m ., , , 



j. mk m , 



^* ƒ = i^zn: ''^ ^1 ~ k- 1 ^^' ■ 



p. ^ négatif, 0<Ä;2<1. 



Comme on le sait, Z (u.) = 1 k- sn- u,.du,^ — „ ,,,, « , — —, — r- 



ou le e est la fonction elliptique bien connue. 



La valeur de ƒ a la période 4 K, et tel est aussi le cas avec les par- 

 lies snu, et — r^-'r" clu second membre de ƒ, . 



Donc toutes les fois que li, accuse un accroissement de 4 K, 

 /", s'est accru d'une quantité constante, tandis que f a acquis la 

 même valeur. Les points où i4, s'est accru de 4 K se trouvent 

 par conséquent à égale distance sur une droite, parallèle à l'axe 

 /'). La longueur de ces distances est focile à écrire. 



Pour Ui ^= 0, on a ƒ j =0 et f-=m, comme ce doit êti"e. 



Nous trouvons facilement: 



i>f "~ ^u ' du ~ snuj^ 



