12 SURFACES DK REVOLUTION à 



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par conséquent k = -z r^ — 



'■ ^ 1 — Hm 



de plus k'^ =; '^^ Yi, et pas conséquente- =?rTi tt-, — ■, ' 



^ C- — H ^ ' 2 rim — f/'m-' 



d'où nous pouvons tirer la conclusion remarquai)!« 



Hm = 2 

 < 



Avant de procéder à la discussion détaillée des formules trou- 

 vées, il est souhaitable d'examiner les diverses valeurs du module 

 k dans les divers cas, où i? = 0, est positif ou négatif. Au moyen 



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de l'égalité k^= -. rp^^ l'on trouve le tableau suivant: 



^ \ — Em 



H positif (0 < Jïm < 1) : k a toutes les valeurs de + 1 jusqu'à + oo 



H positif (1 < Hm < 2) : k a toutes les valeurs de — 1 jusqu'à — oo 



H négatif k a toutes les valeurs de jusqu'à 1 



iî=0 k = \. 



Comme il s'agit de trouver la valeur de /f-, le tableau se réduit à 

 H positif (Hm<2) k- entre 1 et co {k- > 1) 

 H négatif k'- entre et 1 (0 < fc^ < i) 



H = Q k^=\ 



Si l'on veut calculer numériquement f et/", dans les divers cas 

 au moyen des tables de Legendre, afin que l'on puisse tracer et 

 construire les diverses surfaces, l'on écrit: 



P. H négatif, k- <\. 



j. l . 1 [k- cos- (p , ^ 



/ 1 = ^ sm (p + fj-f.j — -^ dfp z/ </' = 1/ 1 - A* sm^ <p 



ou 



r 1- k- —■[ f drp ^/".j 



de plus k = :j û — (voyez plus haut), donc jj- = r r 



par conséquent 



. mk . n A\ f ^V' '^ i , 1 \ 



f,=-l^jsmcp + mik + i)j j^+ j,z_^ j-J^r d'P^ 



tandisque /A. 



mk m ^ 1 



f=kZZï<'os^f-jizrî^^fi- 



