COUR BU RK MOYENNE CONSTANTE. O 



Bianchi démontre lu proposition suivante: le carré de l'élément 

 linéaire d'une surface 11', exprimé dans les coordonnées curvilignes 

 {u, v), peut être réduit à la forme 



, „ du'^ dv- 



où ß est une fonction de u et v 



Les rayons de courbure principaux de la surface W sont alors 

 représentés par les équations : 



7^ = ^^(/^), ! =r-j {/■>') ~/U-/ iß). 



Nous adoptons de plus le théorème bien connu de IJonnet- 

 Darboux que les lignes de courbure pour les surfaces à courbure 

 moyenne constante sont isothermes. Si nous nous représentons u 

 et V comme les paramètres isométriques et si nous posons que 



ou H représente la courbure moyenne constante, 



alors %e— fU-/ = H 



donc 2ß—Cir-+H (r constante d'intégration) 



et (■/ = Cß 



Pris sur des paramètres isométriques, il faut que 



/?2 = o'2 (^?) fionc C = 1 

 donc 2 Ö = /?2 + ƒ/ et O' = ß 



et alors on trouve tout de suite 



F= jy = f=i) 



où E, F, G, e, f, g, 1), D' et D" sont les symboles de Gauss. 



