254 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHIÎS. 



singulier, et le nombre des plans doubles ordinaires équivalents 

 au plan osculateur au point singulier; 



2° le nombre des branches nodales, de la développable D 

 engendrée par les tangentes à la courbe gauche, passant par le 

 point singulier; 



3° le nombre des intersections, coïncidant avec le point singu- 

 lier, de la courbe gauche et de la courbe nodale avec la deuxième 

 surface polaire de la développable D prise par rapport à un 

 point quelconque ; 



4° les singularités que présente la courbe nodale au point 

 singulier. 



Pour les singularités ordinaires ces nombres et l'influence de la 

 singularité sur la courbe nodale ont été déterminés par Crkmona '). 

 La méthode qu'il a inventé pour l'étude des singularités ordi- 

 naires s'est prouvé encore applicable au cas général. Ce mémoire 

 est donc à considérer comme une suite de ces belles recherches 

 de Oremona. 



Je me suis donc servi des mêmes notations pour indiquer les 

 singularités ordinaires à l'exception de celles pour un point ou 

 plan double. Pour ces deux singularités je ino suis servi des 

 notations II et G qu'on trouve p.e. dans les ouvrages de Salmon -) 

 et de E. Pascal '■'■). 



§ 2. Drsi noinhre-'t oi, r, m. 



Considérons une courbe rationnelle, dont les coordonnées sont 

 données par les expi-essions 



où n, r et m sont des entiers positifs. .Je ne m'occuperai dans les 

 paj^es suivantes que de propiétés project! ves. Ces propriétés ne 

 cliangeant pas par une transformation des coordonnées projective, 

 je ne perd rien en généralité en supposant les axes des coordon- 

 nées rectangulaires et en effectuant la transformation 

 x = x^ -.a, y==y,:b, z = z^ :c. 



Les expressions donnant les coordonnées de la courbe prennent 

 par cette transformation la forme plus simple 



*) Cremona — CuRTZE, Oherßächen, Cap. IV. 



^) G. Salmon, Geometry of three dimensions, § 328 



^) E. Pascal, Eepertorio di Maiemaiiche Supcriori If, p. 320. 



