l'UiNTS SINGUMEKS UES CUUKBliS (JAUCIIES, 255 



x = t , y = t ^ , z^t 



Lus propiétés projectives de cette courbe ne dépemlant, que des 

 nombres n, r et m j'iiidiquenii, pour lu suite, cette courbe jnir la 

 notation C {n, r, m). 



Les propriétés de la courbe 



x = At'\ ii = Bt"'^% r = Cf " + '■ + '" 



ne dépendant (|ue des nombres n, r et m, je dirai que deux 

 coui'bes C (n, r, m) sont de même espèce quand ces courbes ne 

 se distinguent (lue par les coefficients A, B et G. 



A chaque valeur du paramètre t il correspond un système de 

 valeurs des coordonnées x, y et z, donc à chaque valeur de t il 

 correspond un seul point de la courbe C {n, r, m). Pour obtenir 

 (jue, réciproquement, il ne correspond à chaque point de la 

 courbe qu'une seule valeur du paramètre t, il faut que les trois 

 nombres n, r et in ne possèdent pas un facteur comumn. En 

 effet, supposons qu'un même point de la courbe correspond à 

 deux paramètres i, et <;,, ces paramètres devraient satisfaire aux 

 conditions 



t; = t,'\ <,"+'■ = «3"+', </'+'•+"' = «;'+'■+'", 



ou bien 



{t,:U)" = \, («,:<,_)" + ' = 1, (i, :i,)" + '+"' = l. {A) 



C'est un théorème connu ({ue les é(|uations binômes .c'' — 1=0 

 et X'' — 1=^0, pour y et ([ premiers entre eux n'admettent pas 

 d'autre racine commune que l'unité. On peut donc seulement 

 satisfaire aux équations {A) pour des valeurs inégales de t^ et de 

 t., (juand n, n -^ r et n -t- 7- -h m possèdent un facteur commun, 

 on cecjui revitMit au même quand ii. r et m possèdent un facteur 

 counaun. (.^uand les nombres n, r et m ne possèdent pas de facteur 

 connnun on ne peut donc pas satisfaire aux équations (A) pour 

 t, ~- t., et à eluujue point de la courbe G{n,r,ra) il correspontira 

 une seule valeur du paramètre t. 



Nous supposerons donc dans les pages suivantes (jue les 3 

 nombres n, r et m n'ont pas de facteur commun. 



§ 3. Des points singuliers M^ et if,. 



(loupons la courbe C{n,r,m) par un plan passant par l'origine 



ties cooi\lonnées M^. Un trouve les paramètres des points d'inter- 



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