256 POINTS SINGUIJERS DES COÜRBKS GAUCHES. 



section en remplaçant dans l'équation du plan ax + by + gz = 0, 

 X, il et z par t'\ t"^' et ^" + '+"'^ cequi donne 



De cette équation en t, n racines sont nulles, le point de la 

 courbe C(n,r,vi), correspondant au paramètre ^ = U, compte donc 

 pour n intersections de la courbe C {n, r, m) avec le plan passant 

 par l'origine des coordonnées. L'origine des coordonnées Jf, est 

 donc un point singulier d'ordre n ■) de la courbe C*(w, r, m), ou 

 bien il passe par le point M^ n branches de la courbe C' (w. r, m). 



Soit p un nombre réel, on obtient les coordonnées des n points 

 de rencontre du plan x^p" avec les n branches passant par 

 l'origine M ^ en suljstituant 



I 2111 . . 2kji\ 



i = 79 COS 1- ^ s%n ( , 



M n 11 ] 



dans les expressions 



x=t", y = e^'', r=«" + '"^"'; 



h étant un entier variant de o à n—\. 



A chaque valeur de /;• il correspond un point de la courbe 

 C{n,r,m) situé dans le plan x=p". Les n branches passant par 

 l'origine J/, constituent tl'après Halphen un groupe circulaire -) 

 ou un cycle •*). 



Le nombre d'intersections de la courbe C (n, r, m) avec le plan 

 passant par l'origine et coïncidant avec l'origine ne sera plus 

 grand que n que pour a=^Ü. Les seuls plans passant par une 

 tangente à la courbe G {n. r, m) au pt)int 31 ^ sont donc des plans 

 passant par l'axe des x. L'axe des .»■ est donc tangente aux n 

 branches de la courbe passant par le point singulier il/,. 



Coupons la courbe par un plan (quelconque passant par l'axe 

 des X, 



by + Gz=^ 0. 



') Plûcker, Theorie der Algebraischen Curven. Bonn 1839. Abschnitt, II, § 3, 

 iirt. GO, p. 205. 



') Halphen, Sur les points singuliers des Courbes A.lg. F]a,nes. Mém. présentés 

 p. divers Sav. à l'Ac. des Sciences de l'Institut, de France. T. 26, p. 17. 



3) Halphen, Sur les singularités des courbes gauches algébiiques. Bulletin 

 d. i: Soc. Math. d. France. T. 6, p. 12. 



