POINTS SlNGUMEllS DKS (;üüKBK^ GAUCIIKS. 257 



Les panimùtres des point« d'iiitersection «ont donnés par Tecjua- 

 tion en l, 



De cette écjuation en t, n -f- r racines sont nulles, le point .1/, 

 correspondant au paramètre t = compte donc pour n + r inter 

 sections de la courbe G(n,r,ni) avec tout plan passant par l'axe 

 des X, ou bien l'axe des x a de conniiun, au point singulier M,, 

 ?i 4- /• points consécutifs avec la courbe C{n,r,m) T.e point M^ 

 est donc une singularité du rang r ' ). 



Le nombre des intersections réunies au point M^ ne peut 

 devenir plus grand que n -\- r que pour le cas que 6=^0. Les n 

 branches de la courbe C{n,r,'in) })assant par le [)()int M^ ont 

 donc toutes pour plan osculateur le plan z = 0. ( 'e {)lan s = 

 a, ou point 31 ^, de commun avec la courbe C{n,r,vi), n -h r + m 

 points. Le point singulier M ^ est donc une singularité de la 

 classe m -). J'imliquerai, pour la suite, par la notation M (/t, r, m) 

 (|ue le point .1/ est une singularité de l'ordre n, du rang r et de 

 la classe m, ou bien que les n branches de la courbe C (n, r, m) 

 passant par le point 31 forment un cycle 31{n,r,m) ■*). 



Remplarons x. y et z par x'.w, y : n et z:ih, les expressions 

 pour les coordonnées d'un point de la courbe C{n,r,m) deviennent 



X : u= t'\ i) : u = < " ^ ' , :: : ti = i" '*" ' ^ "'. 



En posant ;: =^ 1 et remplaçant t par 1 : i on en déduit 



y = t"', x=^t"'^'', u=t"^"'^'". 



Le point 31.^ [y z=x = u =--0), c'est à dire, le point à l'inlini de 

 l'axe des Z est donc un point singulier 31^ {m,r,n) ilc la courbe 

 C{n.r,m). Les deux cycles .U, (>i,,r,'iih) et 3f., (m, r. ?iine se distin- 

 guent que par le changement de n en m et vice-vei'sa, ces 2 cycles 

 sont donc des cycles corrélatifs '') 



La courbe C (n, r. m) 'possède donc deux sirnjularites. J/ , (/t, r, m) 

 et iW, (m, r, n) dont l'une est le cycle corrélatif de rautre. 



Je démontrerai tantôt (§§ 6, 8, 10) que les points iV, et 3L, sont 

 les seuls points singuliers de la courbe C {n. r, m). 



') Halphen, Bull. d. l. Soc. Mat. d. France, t. 6, p 14. 

 *) Plücker, Loc. cit. . 



■■') Halphen, Bull. d. L Soc. Moth. d. France, t. (>, p. 14. 

 ') Halphen, Loc. cit. p. 15. 



