258 POINTS SINGUMERS UKS COURBES GAUCHES. 



Nous venons de voir (jue, par un changement des axes des 

 coordonnées, la courbe C{n,r,m) est transformée en une courbe 

 C{m,r,n). Par conséquent, deux courbes G{n,r,m) et C{m,r,7i) 

 seront dits être de même espèce 



§ 4. Détermination du genre, de L'ordre, de la classe et du rang 

 de la courbe G {n, r, m). 



La courbe G{n,r,m) étant une courbe rationnelle, elle est du 

 genre j> = 0. 



Coupons la courbe par un plan quelconque 



ax -+■ hy + cz + d = 0. 



Les paramètres des points d'interrection sont donnés par 

 l'équation en t 



at" -h &<" + '■ + ct"^'^'" + d = 0. 



A cluKpie racine t de cette etpiatioii il correspond un point de 

 la courbe G{n,r,m). Le nombre des racines étant n -h r + m, la 

 courbe G (n, r, m) rencontre le plan quelconque en n + r + m 

 points. La courbe C'{n,r,m) est donc du degré v^n + r + m. 



On trouve facilement que l'équation du plan osculateur de la 

 courbe C{n,r,m) au point P{t), correspondant au paramètre t, est 



711 {n + r) (71 -f- r -h m) t''^'" x — n (r + m) (n 4- r + m) t '" y 

 + nr {n ■+ r) z — rm (r + m) <" ' '" = 0. 



Par cha(]ue point de l'espace il passe donc n + r -h m plans 

 osculateurs, ou bien, la courbe G\n,r,m) est de la classe 

 ^i=^n + r + m On a donc ;■ = u, c'est à dire, la courbe C {n, r,m) 

 est une courbe autopolaire. Les coordonnées tangentielles du plan 

 osculateur sont 



a =^ m (w + r) (/i -\- r + m) t'" ' , 

 /V= — n (r + 7%) {n -t r + 7u) t'", 



(5 := — rm (r -i- m) <" ^ '' ^ '". 



On a donc 



m (w -^ r + m) , ,■ + m 

 ' nr 



j (r + m) (n + r + ni) „, 



' ■ '' r(n + r) 



' ' n{n + r) 



