POINTS SINGÜI.IKKS DKS COURHKS <;AU(^11ES. 



2r.9 



La courbe corrélative de la courlje C' (n, r, m) est donc une 

 courbe de même espèce que la «•ourl)e C'(w, r, m), de laquelle nous 

 venons de voir qu'on peut représenter les coordonnées par les 

 expressions (§ 3) 



liCS coordonnées des points et des plans osculateurs de la courbe 

 C{n,r,m) étant des fonctions entières d'un paramètre t. la courbe 

 C{n,r,vi) est une coui'be rationnelle entière'). 



On vérifie facilement que les é(|uations de la tangente à la 

 courbe C{n,r,'m) au point F [t) sont, 



t —X 



n t 



t"''-y _ 



{n + r + m) t 



n + r + m- 1 > 



)U bien 



ri""""' — {n + r) t' X + ny = 0, 



(r + m) t" ^ ' *■ '" — (n + r + m) t' '^'"x + nz 



Cette tangente rencontre la droite (juelcon({ue 



a„ + a I X + a., // + a.,'z = 0, 

 />ij + />, X + li.^y -f- h..z=: 0, 



à la condition que / satisfait à ré(|uation suivante 



rl"^' — (n + r) t ' n 



(r -t- m) < " ^ '^ '" — (n + r 4- m.) t'' "*" '" 



a,j a, a, 



hn h, fe. 



=0. 

 n 



Cette équation étant du degré n + 2r + m en /, la droite quel- 

 con(|ue rencontre 7(, + 2r •+■ m tangentes de la courbe ('{n,r,')n), 

 ou bien cette courbe est du rang q = ii, + 2r + m. 



.ij T). Détcrminaiiov rfes mignlarilh /■>, «, h + II, g + G, a, § + tu' 

 et // + 01. 



Soit ji le nombre des points stationnaires (points de rebrousse- 

 ment) de la courbe C'{n,r,w,), soit H le nombre des noeuds eftec- 

 tifs et h le nombre des noeuds apparents. 



') A. Brill, Ueber Singularitäten ebener algebraischer Curven und eine neue 

 Curvenspeeies. Math. Ann. Band 16, 1879. 



