260 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



Des valeurs p = 0, v = u = n + r + m, o = 71 + 2r + m. (§ 4) 

 on détermine au moyen de la formule 



P=4("-l) {r-2)-{h + H + r!) 



et de la formule de Caylev — Plücker 



P = ,- (. — 1) — 2 (/;. + fl) — 3 /? 



le nombre des points stationnaires ß et le nombre des noeuds 

 /( + H d'une projection (jueleonque de la courbe G {n, r, m). 

 On trouve 



ß ^n + on — 2, 

 h + H=\r{n + r + m — 1) + {n + m — 2) (n + r + m — 3) { : 2. 



La courbe G{n,r,m) étant autopolaire (§4) le nombre des j^lans 

 stationnaires « est égal au nombre des points stationnaires ß, 

 donc on a 



« = % + m — 2. 



De même, le nombre g + G des bitangentes d'une section quel- 

 conque de la développable D, engendrée par les tangentes à la 

 courbe G{n,r,m), est égal à h + H, donc 



g 4- G = J r (?i -1- r + m — 1 ) -!- {n + m — 2) {n + r + m — 3) j : 2. 



Pour déterminer le nombre des tangentes stationnaires n de la 

 courl)e G{n,r,m), appliquons à une section quelconque de la 

 développable D la formule connue de géométrie plane 



y. — 1 = {n — m). 



On trouve alors 



r + H « = 3 (() /()• 



d'où 



H = 2r— 2 



Soit t le degré de la courbe nodale et to' le nombre des géné- 

 ratrices doubles de la développable 2), par la formule de ( îayley — 

 Plücker 



^« = C' {<> — 1) — 2 (I + co') — 3 {r + 0), 



on trouve 



■^ + ^' = )o {n _ 1) _ „ _ 3 (r + ^) ! : 2, 



'è -f- u)' ^\{n ■+- 2 r + m — 2) (% + '2r + m — 3) — 2 r ! : 2. 



