POINTS SINGUUERS DES COUUBES GAUCIIKS. 261 



La courbe C(n,r,m) étant antopolaire, on a, >j + o -^ i -h w', 

 où »/ est le nombre de plans bitangents à Ia courbe C(n,r,m) 

 passant par un point (pielconque et où <.» est le nombre des 

 tan,2:entes doubles «le la courixï C(n,r,m), par eons('(juent, 



,; -t- Ü) = ! (?î, -I- 2 r + m — 2) {n + 2 r + m — o) — 2 r | : 2 



§ 6. Left jioinls il/, et M., sont les seules singularités de la courbe 

 C (71, r, 7«,). 



La branche d'une courbe gauche passant par un point ordinaire 

 de cette courbe constitue un cycle du degré un, du rang un et 

 de la classe un. On obtient les singularités les plus simples quand 

 une des 3 quantités degré, rang, classe, devient 2 les deux autres 

 restant un. Les 3 singularités les plus simples sont donc 



le plan stationnaire : a {1,1,2), 

 la tangente stationnaire : "(1,2, 1), 

 le point stationnaire : /:^(2. 1,1). 



Fax prenant un point quelconque, singulier ou ordinaire, d'une 

 courbe gauche pour l'origine des coordonnées l'axe des x étant 

 la tangente et le plan 2 = étant le plan osculateur, on peut 

 développer les coordonnées d'un point de cette courl)e, assez 

 voisin de l'origine, de la manière suivante 



x=t", y=t:'^'- [«], z^r'»-'-^'" [_t\ '), 



où [t'] représente une série entière en t, commençant par un 

 terme constant. 



Pour chaque point ordinaire w + r + m = 3 et le développement 

 pour z commence par un terme en <•', d'où il résulte qu'en un 

 point ordinaire le ]ilan osculateur et la courbe ont 8 points 

 consécutifs de commun. Quand le point, choisi pour origine des 

 coordonnées, est un des 3 points singuliers u, ß ou ", ?i + r + m = 4 ; 

 la courbe gauche et son plan o.sculateur en un point a, n ou p' 

 auront donc, au point singulier, 4 points consécutifs de commun. 

 Pour chaque singularité supérieure ce nombre de points communs 

 sera encore plus grand que 4, n + r + m étant supérieur à quati'e. 

 On peut donc trouver tous les points singuliers (sauf les noeuds) 

 d'une courbe gauche en déterminant les points où (piatrc [oints 



') Halphen. Btdl. il. l. Soc. Math. d. France. T. 6, p. 14. 



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