262 POINTS SINGUIJERS PES COURBES GAUCHES 



consécutif? sont dans un plan. Quatre points consécutifs seront 

 dans un plan à la condition que 



y' ^' =^- 



" w" z'' 



//'" z'- 



Les paramètres /. con-es])ondants aux points singuliers de la 

 courbe C'(n, r, m) sont donc des racines de Tecjuation 



n(7i-l) {n-2)t"''^ {n+r){n+r-]){oi+r-2)t"'^''' '' (w+r+m)(7i+r+m-- l)('>i+r+m-2)/," '^' 

 ou bien 



nrm {n -\- r) {r + m) {n + 7 + 711) ;*'+*+'"■''' :=^ Q. 



Cette équation n'étant pas satisfaite pour toute valeur de t la 

 courbe C(n, r, w) n'est pas une courbe plane. La courbe C{n,r,m) 

 ne possède donc des points singuliers qu'au point M^ correspon- 

 dant au paramètre ^=0 à la condition que 37) , + 2?- H- m> 6 et 

 peut-être encore au point correspondant au paramètre f = co. En 

 développant les coordonnées, y, x et u en fonction de 1 : < (§ 3) on 

 trouve, en effet, que le point JJ, correspondant au paramètre 

 t = cc est aussi un point singulier quand on a 3 777. + 2 r -t- ti > 6. 



Les conditions 3 7i -I- 2 r -t- 7n, > et 3 77( ^- 2r + n> ß sont toujours 

 satisfaites sauf pour le cas que n = r = m^ L 



La courl)e C{n,r,m) ne possède donc que 2 points singuliers 

 M^ et 31., ; dans le cas que cette courbe est une cubique gauche 

 les points Ji, et M^ sont aussi des points ordinaires. 



En déterminant les nombres des points stationnaires réunis 

 aux points ilf, et M., il faut trouver que la somme de ces 2 

 nombres soit précisément le nombi'e total /V des points station- 

 naires de la courbe C (71, r, m). De même pour les singularités n et «. 



Pour un cycle «(1,1,2) on trouve 37t + 2r-i-77i — 6^1. 



Pour un cycle ß (1, 2, 1) on trouve 877. -i-2r-+-7«, — 6 = 2. 



Pour un cycle /? (2, 1,1) on trouve 37i 4- 2r -t- 77i — 6^3. 



On a donc le résultat que le paramètre correspondant à un 

 cycle a est une racine simple, le paramètre correspondant à un 

 cycle est une racine double et le paramètre corresjiondant à 

 un cycle /^ est une racine triple de l'équation donnant les para- 



