POINTS SINGULIKKS UES COURBE.S GAUCHES. 263 



mètres des points pour les(|UcîLs (|U;iti'e points consécutifs sont 

 dans un [Aiux. (Je résultat i)ljtenu pour la courbe spéciale C'f/t, /y/;*.) 

 se généralise facilement pour toute courbe gauche algébrique. 



Et plus généralement on obtient pour cha(jUe courbe gauche 

 algél>ri<iue le théorème suivant: 



Le paramî'tre Gorrespondant à un aide {n, r, m) eut une racine de 

 la quelle le degré de muliiplicilê enl 3?;, + 2r -i- m — 6, <le Véqualion 

 doimanf, les paramètres des points où, quatre points consécutifs (/e la 

 courbe se trouvent daas un plan. 



En considérant la courlje corrélative dune courlje gauclie on 

 trouve facilement que par chacun des points /V, (/ et « il passe 

 4 plans osculateurs consécutifs. On peut donc également déter- 

 miner les paramètres des points ß, d et (c de la courbe C' (?i, r, m) 

 (;n déterminant les points par lesquels passent 4 plans osculateurs 

 consécutifs '). Soit t/=0 l'équation en t donnant les paramètres 

 de ces points. Pour la courbe G (n, r, m) l'équation i7 = se réduit à 

 A t' "'+-'+"^'' = 0, ^ désignant une constante dépendant des exposants 

 n, r et m On retrouve de cette manière que les seules singularités 

 (jue possède la courbe C{n,r,m) sont les points il/, et il/,. On 

 trouve encore facilement le résultat suivant. 



Les paramètres correspondant respectivement à des cycles ,^>. ti 

 et (( sont des racines simples, doubles et triples de l'équation 

 t/ = 0, donnant les paramètres correspondant aux points par les 

 quels passent 4 plans osculateurs consécutifs de la courlje gauche. 



Ou plus généralement: 



Le paramètre correspondant à un cycle (n, r, m) est une racine 

 dont le degré de multiplicité est 'iin + 'ir + n — 6 de Véqaation 

 donnant les paramètres des points par lesquels passent quatre plan^s 

 osculateurs consécutifs. 



§ 7. Détermination des singularités /:?,, «,, /f,, G,, équivalentes 

 au cycle J/, {n r. m). 



Projetons la courbe G{n,r,m) sur le plan z = t), le centre de 

 projection étant le point à l'infini du plan a; =; pour lequel on 

 a y :z =z tg ip. Les coordonnées d'un point de la projection p. 

 seront 



X = i", y = t"'^' — 1"+'+'" ig ,p 



Salmon, Gnometry of three Dimensions, % 324, 



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