264 POINTS SlNGüUERS DES COURBES GAUCHES. 



La projection p^ possède donc au point M^ un cycle (w, r). Par 

 rapport aux formules de Plücker et par rapport au genre, un 

 cycle {n,r) est équivalent à n — 1 points stationnaires et à 

 I i¥ — 3 ('/i — 1)!:2 noeuds ') -) où ^/ représente le nombre des 

 intersections de la courbe avec sa première polaire, coïncidantes 

 avec le point ilf, {n,r). Halphen •') et Stephen Smith '') ont donné 

 des expressions pour le nombre M des intersections, réunies en 

 M^, de la courbe avec sa première polaire ou pour le double du 

 nombre des intersections de la courbe avec elle même ou bien 

 encore pour „the discriminantal index". Dans notre cas ces expres- 

 sions se réduisent à la forme simple 



JW = (n -h r) (n — 1) -+- 7«, (5 , — 1), 



ovi Çi est le plus grand commun diviseur des nombres vt et 7i + r, 

 parce que les nombres q , et n + r -\- m n'auront pas un facteur 

 commun, les nombres n, r et m ne possédant pas de facteur 

 commun (§ 2). Le nombre des noeuds équivalents au cycle 

 ilfj {n, r) sera donc 



8^ j(n + r — 3) {n — \) + m (g, — 1)! :2 ^). 



Les nombres des points stationnaires y- et des noeuds ô équi- 

 valenis au cycle .¥, (n, r) de la projection p, sont donc indépen- 

 dants de la valeur de cp, sauf pour les valeurs ^ ^ et (^ ^ .t : 2. 



Les points stationnaires ■/. d'une projection sont les projections 

 de points stationnaires (■> de la courbe gauche ou sont dlis au 

 passage par le centre de projection de tangentes à la courbe 

 gauche. Un point de la projection j?,. et le point de la courbe 

 Gin,r,m), duquel il est la projection correspondent à la même 

 valeur du paramètre t. Le point j¥j de la projection est donc la 

 projection du point Mj de la courbe gauche C{n,r,m) ces 2 points 

 correspondant au paramètre < ^ 0. La tangente à la courbe G (n, r, m) 

 étant l'axe des X cette tangente ne passe pas par le centre de 

 projection. Les n — 1 points stationnaires de la projection, lesquels 



') Catley, Coll. Math. Papers. Vol. 5. On the higher Sing, of a plane Curve, 

 p. 524. 



") Stephen Smith, On the higher Sing, of plane Curves. Proceedings of the 

 London. Math. Soc. Vol. VI, p. 161. 



ä) Halphen, Mém. d. VAc. d. Paris (sav. étr.). T. 26, p. 42 et 50. 



*) Stephen Smith, loc. cit., p. 159. 



=) A. Brill, Ueber Sing, ebener Curven, etc. Math. Ann. Band 16, p. 400. 



