266 POINTS SINGULIERS DES COUllBKS (iAüCHES. 



droite à l'infini du plan x = () une on plussieurs bisécantes h 

 passant par le point .1/,. Dans le plan s = se trouveraient alors 

 une infinité de points de la courbe gauche C hi,r,m), cequi est 

 impossible. Les noeuds de la projection p-, (jui se trouvent au 

 point M^, sont donc les projections d'autant de noeuds effectifs 

 H. Tout point de la courbe C{n,r,m) et sa projection correspon- 

 dant à la même valeur du paramètre t, le cycle JJ, {n,r) de la 

 projection est la projection du cycle M, (w, r, m) de la courbe 

 gauche. Les noeuds effectifs qui se projettent en le point M^ se 

 trouvent donc aussi au point M,. Le cycle 3/j {n r,m) est donc 

 équivalent à un nombre de noeuds effectifs 



H^ =d= \ In — 1) (n + r — 3) + m fr^, — 1) j : 2. 



On démontre de la même manière que le cycle M,, (in,r,n) est 

 équivalent à un nombre de noeuds effectifs 



H, = î (m— 1) (m + r — 3) +n(q,^ — 1) | : 2, 

 oi^i q., est le plus grand commun diviseur des nombres m et r + m. 



Le cycle M., (m, r, n) étant un cycle corrélatif du cycles .1/, (n, r, m) 

 et un noeud H étant la singularité corrélative d'un plan double 

 G. le cycle M, {n, r, m) est équivalent à un nombre de plans 

 doubles 



G^=H., = \ (m — 1) (r + m — 3) + n iq., — \)\:2. 



De même le cycle M^_(m,r,7i) est équivalent à un noiubre de 

 plans doubles 



Go = -H"] = ! {n — 1) (n + r — 3)+m{q^—\)\: 2. 



§ S. Détermination de H et de G. 



Projetons la courbe C {n r,m) sur le plan r = 0, du point M, 

 comme centre de {)rojection, c'est à dire supposons q>^Q {% 7). 

 Les coordonnées d'un point quelconque de la projection sont 



x=t", y = t"'^''. 



Supposons d'abord que les nombres n et n + r soient premiers 

 entre eux, c'est à dire supposons ç, = 1 (§ 7). Sous ces conditions, 

 chaque point de cette projection P. est la projection d'un seul 

 point de la courbe G{n,r,m), ou bien la projection F- est une 



