POINTS SINGri.lKRS URS COURBES GAUCHES. 267 



courbe simple. C'est un tliéorème connu el facile à vérifier que 

 la courbe P^ {x = t", y = t"'^'^) possède deux singularités M, (2 = 0, 

 7/ = Ü, 11=^1) et M,, (x = 0, y^l, n = 0) et n'en possède pas 

 d'autres ') (§ 2). Chaque noeud, point stationnaire, on tangente 

 singnlièi'e de la courbe C'(?î,, r, m) se projetant en un noeud, point 

 stationnaire on tangente stationnaire de la projection P., la courbe 

 C{n,r,m) ne possède d'autres noeuds H, points stationnaii'cs fi 

 ou tangentes et œ que ceux réunis aux points M^ et M, (le 

 point M^ est la projection du point M^). Quand q^ > 1 chaque 

 point de la projectioii P; est la projection de ç, points de la 

 courbe C(w, r, m) et un noeud H de la courbe C(n,r,m) pourait 



. . ( " T\ 



se projeter en un point ordinaire de la projection P^ \:»; = i''', y=^t''' ) 

 la quelle ne possède d'autres singularités que celles réunies aux 

 points .1/, et ;W,, . 



Envisageons alors les projections orthogonales 



"+»• n+>+»i \ 



P^ [y^t"' ,Z=t "' ) 



p„\x=t"^ , z=t ": ) 



de la courbe C{n,r,in), sur les plans des coordoimées .r = 0, et 

 Il = et la projection 



sur le plan de l'infini, l'origine M^ étant le centre de projection. 

 (Juand une de ces projections est une courbe simple, c'est à dire, 

 quand un des plus grands communs diviseurs q.^, q^ ou q^ est 

 l'unité, on peut démontrer, en raisonnent sur cette courbe simple 

 comme on vient de le faire sur la courbe P- , que la courbe 

 C (n, r, m) ne possède pas des singularités H, /'i, n ou eu en dehors 

 des points M^ et ^[., (§ 6). 



(^uand aucune de ces 4 projections est une courbe simple on 

 jM'ut <lémontrer de la manière suivante que la courbe C{n,r,m) 

 ne possède pas des noeuds H en dehors des points ^l^ et M.,. 

 En ed'et, supposons que la courbe C{n,r,m,) possède un noeud 

 H, (jui ne co'incide pas avec un des points M^ et M.,. Ce noeud 

 H se projette en un point ordinaire de la projection P_- à la con- 



') Halphen, Mim. d. l'Ac. d. Paris, (sav. étr.) T. 2G, p. 54 (exemple). 



