268 POINTS SINGUIJERS DES COURBES GAUCHES. 



(lition que le pla» d, déterminé par les 2 tangentes à la courbe 

 C{n,r,m) au point H passe par le centre de projection M,. De 

 même quand le noeud H se projette sur le plan de l'infini en un 

 point ordinaire de la projection P„ , le plan d déterminé par les 

 2 tangentes à la courbe C {n, r, m) au point H passe par le centre 

 de projection Mj. Le plan d passe donc par les points M, et M2, 

 donc passe par l'axe des z. De même on démontrerait que ce 

 plan d devrait passer par les axes des x et des y, cequi est impos- 

 sible. La courbe C (n, r, m) ne possède donc pas des noeuds en 

 dehors des points M^ et 71/, Ce résultat est aussi une conséquence 

 immédiate de ceque les coordonnées x, y, z d'un point de la 

 courbe C' {n, r, m) ne peuvent pas obtenir toutes les 3 les mêmes 

 valeurs pour deux paramètres distincts <, et t^ (§ 2). Ce résultat 

 est obtenu ici par une méthode qui a l'avantage d'être encore 

 applicable pour démontrer que la courbe C {n, r, m) ne possède 

 pas, en dehors des points jy\ et /l/, des singularités /•), a, (§ 6) 

 ou 0, (§ 9). 



Nous avons vu au § 7 que les nombres /ƒ, et ƒ■/, des noeuds 

 effectifs l'éunis aux points yJ/j et M .^ sont 



H, = ! (w — 1) (??.. + r — 3) + m ((/, — 1)| : 2, 

 H, = î(m— 1) {r + m — Z)+ n{q^ — 1)| : 2, 



Le nombre total des noeuds effectifs H étant H^ + 77, on trouve 



H = j (n + r + m — 3) hi + m — 2) — m (n — q^) — 71 (m — ^2)! • 2- 

 De cette valeur du nombre H et de la valeur 

 /(, + ƒ/=! r {n + r + m — 1 ) + (ïi + m — 2) (n + r + m — S) j : 2, 



déterminée au § 5 on déduit que le nombre des noeuds apparents 

 h est 



/i = \r {n + r + m — 1 ) + m (n — g , ) + n(m — q.,) \ 2. 



La courbe corrélative de la courbe C{n,r/fn) étant une courbe 

 de la même espèce que la courbe C(n,r,m) (§ 4). le nombre H' 

 des noeuds effectifs de la courbe corrélative sera égal à H. Chaque 

 noeud H' de la courbe corrélative correspondant à un plan double 

 G de la courbe C{n,r,m), le nombre des plan doubles G de la 

 courbe C' (n, r, m) sera 



G = j (w + r + m — 3) (7i + m — 2) — m [n — q^} — m {m — 5 ^ ) i • " 



