POINTS SINOUMEKS DES CÜUKBKS GAUCHES. 269 



et ces plans doubles coïncident tous avec les plans osculateurs 

 2=0 et u^=0 de la courbe C{n,r,m) aux points M^ et ^1/,. 



§ 1». Détermination des dvgularilês «, ci! w, équivalentes nu cycle 

 M, {n, r, m). 



Knvisajfeons comme au § 7 la projec'tion 



p-,(x=t", y = t" " — t" '"' """ tcjrp) 



de la courbe ('(n,r,m) sur le plan z = 0, le centre de projection 

 étant un point d(^ la droite à l'infini du plan x=^-0. 



Le cycle corrélatif du cycle 3/^{v,r) de la projection p, est 

 un cycle 



x=t\ 2/ = i" + '+^ «'■ + " + '" '). 



Ce cycle corrélatif est équivalent à r — 1 points stationnaires 

 et à 



jir— 1) (r + '/i — 3) + //*, ((/, — 1)1 : 2 



noeuds, le plus grand commun divisi'ur r/, dva nombre et 

 n + r étant aussi le plus grand commun diviseur des nombres r 

 et n + r. Le cycle M^ {n,r) de la projection j)- est donc équivalent 

 àr — 1 tangentes stationnaii'es / et à \(r — \){r+v. — o)+m('j', — \)\:2 

 tangentes doubles r. Une tangente stationnaire « de la projection 

 /), est la pi-qjection d'une tangente stationnaire '* de la courbe 

 f!{n,r,m) ou est l'intersection du plan de in'ojection c-O avec 

 un plan osculaUuir de la courbe passant par le centre de projec- 

 tion. Le terme constant — rm{o- -r m) t"^' '^"' (§ 4) de l'équation 

 du plan osculateur ne s'annulant (|ue pour t = 0, le seul plan 

 osculatcuir de la courbe C{n,r,m) passant par l'origine />/, est le 

 [dan osculateur au point correspondant au paramètre < = 0, c'est 

 à dire au point ^/,. Le seul plan osculateur passant par l'axe 

 des X est donc le plan z = 0. Ce plan z^O ne passe pas par un 

 centre de projection pris arbitrairement sur la. droite de l'infini 

 du plan :n - 0. La tangente à la projection p. au point /)/,, c'est 

 à dire, laxe des x est donc la projection de r — 1 tangentes 

 stationnaires. La tangente à la cov;rl)e <'{n,r,m) dont l'axe des 

 X est la projection étant l'axe des x lui même, la tangente au 

 point /l/| doit complei' pour r — 1 tangentes stationnaires a de 



') Halphen, Mém. de l'Ac. d. Paris (sav. 6ir.). T. 20, p. 43-44. 



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