270 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



la courbe C{n,r,m). Ou bien le nombre des tangentes station- 

 naires équivalentes au cycle ü/, (n, r, m) est 



Ö j = r — 1 . 



De même on trouve que le nombre des tangentes stationnaires 

 équivalentes au cycle M ,^{m,r,n) est 



«2=r— 1. 



Nous avons démontré au § ß que la courbe Ç{n/r,m) ne possède 

 pas des tangentes stationnaires en dehors des cycles M ^ et M^. 

 Le nombre total des tangentes stationnaires de la courbe 6' (%,r, m) 

 est donc 



o^ôj + n.^ ^ 2r — 2. 



cequi est précisément le nombre pour » trouvé au § T) au moyen 

 des formules de Cayley-Plücker. 



Une tangente double r de la projection 'p, est la projection 

 d'un tangente double w de la courbe C{n,r,m) ou est l'intersection 

 du plan de projection 2: = avec un plan ri passant par le centre 

 de projection, un plan >/ contenant deux tangentes non consécu- 

 tives de la courbe gauche. Supposons que la tangente double de 

 la projection laquelle coïncide avec l'axe des x est l'intersection 

 d'un plan >j avec le plan de projection ,:= 0. La droite à l'infini 

 du plan .1^ = 0, où se trouve le centre de projection n'étant pas 

 dans un plan avec l'axe des x, il passerait par l'axe des x une 

 infinité de plans tj, puisque le nombre r des tangentes doubles 

 ne varie pas en changeant 7 ou bien en changeant la position 

 du centre de projection. Dans chaque plan */ se trouvent 2 tangentes 

 non consécutives de la courbe gauche. Par conséquent, l'axe des 

 .-ï' rencontrerait une infinité de génératrices de la développable D 

 engendrée par ces tangentes, cequi est impossible. L'axe des x est 

 donc un tangente double de la projection parcequ'il est une 

 tangente multiple de la courlie f'(n,r,m). L'axe des x doit donc 

 compter pour \{r — 1 ) (n + r — 3) + m (^j , — 1 ) | : 2 tangentes doubles 

 de la courbf^ (!{n,r,ra), ou bien le nombre des tangentes doubles 

 (1(1 la courbe C(n,r,m) é()uivalentes au cycle yl/, {n,r,m) est 



„> , = \{r — 1 ) in + r — '■') + vi ((/ , — 1) j : !2. 



De même le cycle yl/,(m, r, n) est équivalent à 



0}.. = \{r — 1) (m + r — 3) + n (q.^ — l)j : '2 



