POINTS SINCiUI-lEKS DES COURBKS GAUCliKS. 271 



tangentes doubles, ([., étant le plus grand (•oiuiuun diviseur des 

 nombres r et m. 



Les quatre projections de la courbe ('i'u,r,iii) sur les 4 faces 

 du tétraèdre de l'éférence, les sommets opposés étant les centres 

 de projection (§ 8) sont des courbes simples ou multiples de la 

 forme 



Ces projections ne possèdent pas des tangentes doui)les r en dehors 

 des 2 cycles (iV, M) et {M, N). Une tangente double w de la 

 courbe gauche se projette toujours en une tangente double r de 

 la projection sauf dans le cas que la tangente œ passe par le centre 

 de projection. Mais aucune des 4 projections P, , P,j , P-. et P„ de 

 la courbe Cin,r,m) ne présentant une tangente double ordinaii'e, 

 la tangente double tu devrait passer par les 4 sommets #/,, /l/^, 

 J/3 et il/^ du tétraèdre de référence, ce qui est impossible. Par 

 consecjuent, la courl)e C{n,r,m) ne possède pas des tangentes 

 doubles w en dehors des tangentes aux points singuliers M^ et 

 M 2- Le nombre total des tangentes doubles do la courbe C{n,,r,m) 

 est donc 



o) = CO, -1- cü, =^ j(r — l)(w + 2/- + IIb — 6) + 'nl(q^ — 1) +7i((/2 — DJ : 2. 



§ 10. De la génératrice shujidière (7, (s ^ Ü, 2/ = 0). 



L'axe des x étant, en général, une tangente singulière de la 

 courbe G {n, r, m) au point M^ (n, r, m), l'axe des x est également 

 une génératrice singulière de la développable D engendrée par 

 les tangentes à la courbe G (n, r, m). Examinons de plus près la 

 section Ä de cette développable par un plan .c = jj, p étant (juel- 

 conque. Les coordonnées d'un point quelcon(iue P de la dévelop- 

 pable D sont données par les expressions suivantes, 



X = t" +■ l n t"'~ , 



y^ t" + '-tl(n + r) i" + ''"', 



z=r"-"" + l{)i + r + m)r + ''-^"'-\ 



<2uand le paramètre t reste constant et le paramètre / varie le 

 point P parcourt une génératrice de la développable 1). 



Pour les points P situés dans le plan x = p les paramètres l et / 

 satisfont à la relation 



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