274 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHKS. 



La génératrice g , ne peat rencontrer des branches de la cowrbe 

 nodale, lelong des quelles 2 nappes jiassant par g y se pénètrent, 

 qu'aux poi7its M, et M... 



On ven-a au § 12, qu'en général, la génératrice f/, renconlrera 

 au point il/., des branches nodales lelong des quelles se pénètrent 

 les r nappes tangentes lelong de y,. 



Au § 9 nous avons vu que l'axe des x doit compter pour 



Wj = î(r— 1) (*i + r — 3) + m (g, — l)î :2 



tangentes doubles u, de l'arête de rebroussenient G{n,r,m). En 

 général, on aura donc lu/--");, i)ar conséquent, l'axe des x ne 

 doit pas compter pour autant de génératrices doubles que de 

 tangentes doubles, tandis que toute génératrice double ordinaire 

 ct' est à la fois une tangente double ordinaire w. On a donc le 

 théorème. 



Une tangente singulière siipcricare ne compte pas nécessairement 

 pour autant de tangentes doubles que de génératrices doubles (§§ 39, 

 43, 44). 



Oe théorème trouvé pour le cas que la génératrice singulière 

 e.st tangente au cycle (m, r, lu) est encore vrai quand la génératrice 

 singulière est tangente à 2 branches distinctes de l'arête de rebrous- 

 sement. 



Par exemple, si une droite g est tangente à 2 branches d'une 

 courbe gauche en '2 points distincts ordinaires et qnaiid coïncident 

 les plans osculateurs aux 2 points de contact, la droite g compte 

 pour une tangente double ordinaire a> mais compte pour 2 géné- 

 ratrices doubles co'. 



Autre exemple. Quand une droite g est tangente au môme 

 point à deux branches distinctes d'une courbe gauche, le point de 

 contact étant un point ordinaire sur les 2 bi-anches et quand les 

 2 plans osculateurs sont distincts, la droite g compte pour 2 

 tangentes eu mais pour une génératrice double œ. 



Dès qu'une courbe gauche possède des points singuliei-s supé- 

 rieurs ou des tangentes doubles .singulières le nombre œ entrant 

 dans les formules de Caylky — Plücker se rapportant à des sections 

 n'est pas le même que le nombre m entrant dans ces formules se 

 rapportant à des projections, ou bien les «> entrant dans les termes 

 'è + CO et rj + 0) ne sont pas les mêmes. 



D'une relation 



