276 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



C{n,r,m) avec la deuxième surface polaire A^ D de la dévelop- 

 pable D, prise par rapport à un point quelconque P. 



La développable D étant du degré o^n-i-2r+in (§ 4), la 

 deuxième surface polaire A^ D sera du degré ti + 2r + in — 2. La 

 courbe C{n,r,m) étant du degré i> = n + r + m (§4) le nombre 

 total des intersections de la courbe C (n, r, m) avec la deuxième 

 surface polaire A- D sera 



{n + 2r + m — 2) (n 4- r + m). 



Ces intersections sont: 1° les points de la courbe C(n,r,))t) qui 

 sont des points triples ou d'une multiplicité supérieure de la 

 développable D; 2° les points C de la courbe C{n,r,m) dont les 

 plans osculateurs passent par le point P, chaque point G étant 

 un point triple de l'intersection de la développable D avec le plan 

 osculateur correspondant M- Les points de la courbe C{n,,r,m), 

 qui sont les points triples on d'une multiplicité supérieure de la 

 développable D sont les points M\, .1/,, /', H, X et les points de 

 contact des tangentes stationnaires " et des génératrices doubles w'. 

 Posons que ces points comptent respectivement pour les nombres 

 d'iiitorsections, M^ M^, N^, iV,, N.., iV, et iVj et supposons que 

 les nombres de ces singularités ordinaires non-coïncidantes avec 

 les points J/j et /¥., soient /i, H, k, n et m'. Les points de contact 

 f' des plans osculateurs passant par le point P sont au nombre 

 de ,u =71 + r + III (§4) et Crkmona annonce -), cequ'on vérifié 

 facilement, (|ue chacun de ces points C compte pour -' intersec- 

 tions de l'arête de rebi-ousseinent avec A- D. 



On obtient donc la relation suivante 



(7;. -h r + "0 (n + 2r + m — 2) = 2 (n + r + m) + -V, + M. + N, ß + 



-^N^H+N.,X + N„ii + N,a.' . . .' (1) 



Les équations d'une génératrice quelconque de la développable 

 D sont (§ 4) 



(n + r) t' X — vy — rt"'^' = 0, 



{n -h r 4- }») /,'' ^ '" X — n: — (r + m) t"^'"^ '" = 0. 



En éliminant le paramètre t entre ces 2 équations on obtient 



') Cremona - Cdrtze, Oberflächen, Cap. IV. 

 ^) Cremona — Cdbtze, Oberflächen, § 104. 



