POINTS SINdUI-lKHS DKS COUKBES GAUCIIF.S. 277 



l'équation de la drveloppable D. Le poids ') de cet ('liniiiiant 

 sera [n + r) (n + r + m). C'est à dire, si l'on donne aux variables 

 X, y et z les indices, n, n + r et n + r + m,, la somme de ces 

 indices dans chaque terme de l'équation de la développable sera 

 {n +■ r) ()t + r + m). Par conséquent, en substituant 



x = t", y = t"-"; z = t""'"" (2) 



dans ré(iuation de la développable on obtient une équation en t 

 dont tous les termes sont du degré (n + r) {n + r + m). En substi- 

 tuant les valeurs (2) dans l'équation de la deuxième surface 

 polaire, les termes du degré le moins élevé en t sont les ternies 

 obtenus en difterentiant deux fois par rapport à z Le tei-me de 

 l'équation A'-D{t) = du degré le moins élevé en t sera donc 

 du degré 



{a + r — 2) (n + r + m). 



Il étant encore possible que le coefficient de ce terme s'annule 

 on peut seulement conclure que le nombre des racines nulles est 

 au moins (n + r — 2) (w 4- r + jh). Chaque racine de l'équation 

 A^D{t) = étant le paramètre d'un point d'intersection de la 

 courbe C{n,r,m) avec la deuxième surface polaire A- D on trouve 

 que le point /V, correspondant au paramètre i = compte pour 

 {n + r — 2) {n + r + in) intersections au moins. Supposons donc 



M , =1^ (?i + r — '2) [n + r + m) + A, 



A étant un entier positif ou nul. 



De même le nombre des intersections de la courbe C {n, r, m) 

 avec la surface A- V) les ([uelles coincident avec le point .1/., {)ii,r,ii) 

 sera 



y|/, = (m + r — 2) (ii + r + )ii) + B, 



B étant un entier positif ou nul. 



L'équation (1) de tantôt devient donc 



{n + r + w) {n + 2r + m — 2) = 2 (n + r + m) + (« + r — 2) x 



X (n + r -h m) + J. + (»î + r — 2) (?i + r + m) + 

 + B + N, li -^ N^ H + N., X + N, + N, u>'. 

 d'où 



A + B -^ N, ;•; 4- N, H + N,, X + N, » + N^u,' = 0. 



') Salmon, Modem Higher Algebra, § 71. 



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