278 POINTS SINGULIERS DKS COURBES GAUCHES. 



Chacun des 5 noml^res A" étant au moins un et aucun des nombres 

 A, B, ß, H, X, H et co' n'étant négatif ces derniers nombres sont 

 tous nulles. 



On retrouve donc le résultat que la courbe C{n,r,m) ne posêde 

 pas des singularités /? (§6), H (§ 8), " (§ 6), lo' (§ H») en dehors 

 des points J/, et /)/,. 



En outre, on trouve que le nombre X des points de rencontre 

 des courbes C{n,r,m) et 'S, qui sont des points de rebroussement 

 de la nodale et se trouvent en dehors des points M^ et yl/j, est 

 nulle. 



Les nombres ^ et i? étant nulles on obtient le théorème. 



Les cycles AI, (n,r,m.), M^{m,T,n) comptent respectivement pour 



(n + r — 2) (« + r + m) et (m + r — 2) (» + r + m) 



intersections de Varcte de rebrousement C (n, r, m) avec la deuxième 

 surface polaire A^ D. 



On peut encore énoncer le théoi'ème précédant de la manière 

 suivante. 



La présence d.'uv cycle 3/ (n, r, »/) diminue de 



(h- + r — 2) {n + r + m) 



le nombre X des points de rebr aussen) ent X de la courbe nodale, les 

 quels peuvent se trouver sur la courbe gauche en dehors du cycle 

 M (n, r, m). 



L'accroissement A étant nulle, il faut conclure que le coefficient 

 du terme, lequel est du degré (n -\- r — 2) {n + r + m) en t, de 

 l'équation a- D (t) = 0, ne s'annule pas. 



En posant n = 2, m = r = 1 le cyclo J/j (n, r, m) se réduit à 

 un rebroussement ordinaire ß et (n + r — 2) (71 + ?• + ui) = 4, cequi 

 donne le résultat déjà trouvé par Cremon4 '): 



Un point stationnaire ß compte pwur 4 intersections de l'arête de 

 rebroussement avec a- T). 



En posant r = 2, m^n=\ le cycle M^{n,r,i)i) se réduit à 

 une branche présentant une tangente stationnaire 6 et (n + r — 2) 

 {n + r-\- ?n) ^4, cequi donne le résultat déjà trouvé par Cremona -) : 



') Cremona - CuRTZE, Oberflächen. % 103. 

 *) Cremona -CuHTZE, Oberflächen. § 100. 



