280 POINTS SINGUIilERS DES COURUES GAUCHES. 



d'où Z = — t : {n + r + m) ou t = 0. 



L'intersection de la développable /) avec le plan c ^ consiste 

 donc en 2 parties, savoir une partie courbe *S'^ correspondant à la 

 solution Z = — t: {71 + r + m) et en une génératrice correspondant 

 à la solution i = 0. Les coordonnées d'un point de la courbe 

 S: sont 



n -h r + m n + r + m ' 



^ n + r + m n + r + m 



L'équation de cette courbe *S'.- est donc 



n + )■ n_ 



I X {71 + r + m) I '/i' j 2/ ("^ + ''■ + »i) I '^1 

 I r H- M ) I m ! ' 



Çj étant le plus grand commun diviseur des nombres % et r. 

 Chaque point de la section /S- correspondant à q^ valeurs distinctes 

 du paramètre f,, par chaque point de la section S, il passe q^ 

 génératrices de la développable /), ou bien la section <5- est une 

 courbe nodale dont le degré de multiplicité est q^. 



L'intersection totale de la développable D avec le plan z^O 

 consiste donc en la courbe *S'; du degré {n + r):qi, laquelle doit 

 compter q^ fois et eu la tangente à la courbe C (71, r,i/i) au point 

 correspondant au paramètre t = 0, c'est à dire en l'axe des x. 

 Nous avons vu au § 10, qu'au point de rencontre P^, de l'axe des 

 X avec le plan x = p, la section S possède un cycle de l'ordre r 

 et de la classe m. La tangente à la section S au point P,, (r, tn) y 

 a de commun ?• + m points consécutifs avec la section S et cette 

 tangente se trouve dans le plan z ^0. L'axe des x doit donc 

 compter pour r + m génératrices communes de la développalile 

 D et du plan s = 0. L'intersection totale de la développable /) 

 avec le plan z = est donc du degré (r -t- w) -i- (r -H ?//) =7i + 2r + m, 

 cequi est précisément la valeur trouvé au § 4 pour le rang de la 

 courbe G {n, r, m). 



Supposons que la génératrice g ^, c'est à dire l'axe des x, rencontre 

 une nappe de la développable D au point R. Chaque plan passant 

 par g^ coupe cette nappe suivant une branche de la courbe de 

 section, et cette branche passe par le point R. De l'équation de la 



