POINTS SlNtiUMEKS DKS COURBES CiAUCIIES. 281 



section »S^ on tire directement que Tuxe des x rencontre cette 

 section S- seulement au point yJ/,. 



Par conséquent, l'axe des x, ou hicn la f/énéralrice singulière (/,, 

 ne rencontre aucune najype de la développahle D en dehors du point J/,. 



On peut énoncer ce théorème encore de la manière suivante. 



La génératrice singuliere g^ ne rencontre d'autres génératrice)^ de 

 la développable D que les generatrices consécutives qu'elle rencontre 

 au point singulier i/,. 



La génératrice g, ne reiiconiraiit dew nappes de la déveldppaMe 

 I) et les r nappes passant par la génératrice r/, ne se pénétrant 

 ({ue peut-être aux points yJ/, et M. (§ 10), la génératrice g^ ne 

 peut rencontrer des branches de la courbe nodale (|u'au.\- points 

 Mj^ et Mj^. Nous verrons ([u'en général, la génératrice (/ , rencontre, 

 en effet, des bi-anches de la courbe nodale aux points yJ/, et M^. 



Pour les points de la développable D, qui se ti'ouvcnt à l'inliiii, 

 il faut (jue les paramètres l et t soient choisis de manière à rendre 

 infiniment grandes les coordonnées x, y et z (1). L'es coordonnées 

 seront infiniment grandes 1° quanil < = oc et 2° quand / = oc . 



L'intersection totale de la développable I) avec le plan de l'infini 

 consiste donc en 2 parties, 1'^ la tangente à la courbe C {n, r, m) 

 au point .1/,, correspondant au paramètre i = co et 2° une courbe 

 (S^. En substituant l^cc dans les expressions (1) ou trouve pour 

 les coordonnées d'un point de la courbe aS'^, 



_ « ^ y ^ z 



nt"-' \n + r)t"^"'' {n + r + w) t" + '+'"-' ' 



L'é<juation de la section S_^ sera donc 



\ y I " "■' ^ I ^____j_ \ ■^"- ( ^ ( '^^ 



hi -^ r^ \n -\- r -i- m \ \ n \ ' 



q.^ étant le plus grand commun diviseur des nombres r et m. On 

 trouve facilement que la courbe 8^ est une courbe nodale dont le 

 degré de multiplicité est q., et que l'intersection totale de la 

 développable D avec le plan de l'infini consiste en la courbe S^ 

 du degré (/• -H ///) : q., comptée q., fois et en la tangente à la courbe 

 C{n,r,m) au point ^1/, comptée n + r fois. 



Coupons la développable D par le plan a; = 0; les paramètres 

 l et t des points de cette section satisfont à la relation 



