POINTS SINCUl.IEnS DKS COURHKS OAUCHES. 283 



consiste donc en la génératrice (j ^ tangente à la courbe C' («,'', w/) 

 au point M , et en une partie courbe .S,, . La génératrice g^ (y=^-z = Ü), 

 laquelle se trouve en effet dans le plan y = 0, est une génératrice 

 d'un degré de multiplicité r et le plan tangent à la développable 

 /) lelong de la génératrice q^ étant le plan ;ï = 0, la génératrice 

 (;, doit compter r fois dans l'intersection totale. Les coordonnées 

 d'un point de la courbe \ sont 



r t m t 



V + r' 71 + r ' 



L'équation de la courbe Sy est ilonc 



n + r + m n 



\x{n + r)\ v^ ( — S (n H- )•) ) '/. 



I r I ^ I M I 



où ç,, est le plus grand coninnni diviseur des nombres ??. et >• + ?«. 

 L'intersection totale de la développable D avec le plan y = 0, 

 consiste donc en la courbe S,j du degré (n 4- r + ?u):q^, laquelle 

 compte (/,, fois et en la génératrice g^ comptée r fois. L'intersec- 

 tion totale est donc du degré ?), H- 2 r + m. 



§ 13. Du degré de Ut roitrhe nodale gauche e,i de la clause de la 

 déve lojypah le Jn tangen te. 



Nous avons trouvé aux §§ 5 et 10 



g + „,'= j(„, -f 2r + 7/1 — 2) (n + 2 /• + w — 3) — 2 /• j : 2, 



«,'= |(v- — 1)(m + 2r + m — 6) + m (q^—l) +n{q,—'[)\ : 2. 



La courbe nodale £ de la développable D est donc du degré 



g = j(7î, + 2 r + m — 4) {n + r + w) — w (ç, — 1) — n (g, — 1)1 '■^■ 



Cette courbe nodale i consiste en les nodales planes Sy , Sy , 

 S. et *S'^ (quand les nombres g.,, ç,, , g, et q., sont plus grands 

 que l'unité) et en une partie restante i' dont je démontrerai aux 

 §§ 17 et 24 qu'elle est une courbe gauche. 



La courbe nodale plane S'; est du degré (n + /•) :ç, et son degré 

 de multiplicité est Çj. La courbe nodale plane S^ est donc équi- 

 valente à une courbe double du degré (n + r) (g, — 1) : 2. De même 

 ou trouve facilement que les courbes multiples S^, S, et Sy sont 

 respectivement équivalentes à des courbes tloubles des degrés 



