284 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



(r -T- m) (g, — ]) : 2, 



{n + r + m) (g., — 1) : 2. 



{71 + r + m) {q^ — 1) : 2. 



Le degré de la courbe nodale restante est donc 



è' = g — {n + r) {q^ — l):2 — (r + m) (g^ — 1) : 2 — 



— [n -h /• + m) (ç., — 1) : 2 — (m + 7- 4- ///) {q^—l):2 = 

 = (n ■+■ r + m) (n + 2r + m — g , — q^ — Ç3 — 'id ) • 2, 



en posant pour simplifier 



N={n + 2r + m — q^— q.^ — q^ —q^): 2, 



on a 



1' = iV (n + r + ffi). 



Nous avons trouvé au § 10 qui le nombre w des tangentes 

 doubles de la courbe C {n, r, m) est égal au nombre 0/ des généra- 

 trices doubles. La courbe C' {n, r, m) étant une courbe autopolaire 

 nous avons (§ 5) 



i + ü> ^ ^ + m. 



Par conséquent, v = §, c'est à dire la classe de la développable 

 bitangente est égale au degré de la courbe nodale De même que 

 la courbe nodale § cette développable bitangente se décompose 



Les coordonnées d'un point de la projection orthogonale P^ de 

 la courbe C {n, r, m) sur le plan ,î = sont 



x = t" , y = t"+': 



Le plus grand commun diviseur des nombres n et 01 -h r étant 

 ç,, chaque point de cette projection P_- est la projection de q^ 

 points distincts de la courbe C {n, r, m) Par conséquent, tout plan 

 tangent an cylindre projetant est un plan tangent multiple de la 

 courbe C{n,r,w), son degré de multiplicité étant q^. Un plan 

 tangent à ce cylindre projetant compte donc pour qi{q\ — 1):2 

 plants bitangents >;. L'équation du cylindre projetant, ou bien de 

 la courbe P~ étant 



2i_ n + r 



7i 71 



y =^ , 



ce cylindre (autopolaire) est de la classe (n + r):q^. Ce cylindre 

 est donc équivalent à une développable bitangente de la classe 



(« + r)(î, — 1):2. 



