POINTS SINGDI.IKRS DV.fi COUKUKS «iALCIIKS. 289 



(')i, -r- r,m). Lu nombre des l)racln,'s de .S, passant ]iar .U, (''Unit 

 indépciulant de if , il passe par le point .1/, n. + r nappes de la 

 développable D. 



J^es n + r — 1 points stationnaires tie la section S,, qui sont 

 équivalents an cycle iV, {7i + r,m) sont dus ou passage par M, 

 de 11 branches de l'arêt de rebroussement (§ 3) et au passage de 

 la génératrice g,, laijuelle est é<|ui valente à r — 1 tangentes station- 

 naires " (§§ 9, \0). 



Le i)lus grand commun diviseur 7.. de l'ordre ?i + r et de la 

 classe ni du cycle M^ {n + r,m) ne peut avoir un facteur de 

 commun avec le nombre r, puisque les nombres 71, r et m n'ad- 

 mettent pas de facteur commun (§ 2). Le noml^re des intersections 

 de la courbe .S, avec sa première polaire, coïncidantes avec le 

 point M, est donc 



(?i 4- r — l)(n + r + m) + r (q . — 1) ' ). 



Le nombre des noeuds équivalentes au cycle il/, {ti + r, m) 

 est donc (§ 7) 



() = I (?t + r — 1) (?i + r + m — 3) + r {q-j — 1 ) [ : 2. 



Ce résultat tombe en défaut quand s'annule le coefficient 



min-hr + rii) ., + ,„ , ,. , ^ , 



— : — du terme en 1 du développement donnant 



n (m -t- r) Ig <i ^^ 



z^. Il faut donc exclure la valeur '/=;.t:2. Le plan sécant // = xir/f^ 

 n'étant pas tangent, au point M,, à la développable D ou à l'arête 

 de rebroussement, les noeuds (^ réunis en ^l^ sont diis à la ren- 

 contre lie ligues doubles. 



Les lignes doubles passant pas le point M^ sont 



1'^ la génératrice singulière g ^ (§ 10) tangente à l'arête de rebrous- 

 sement C {n, r, m) au point J/ , ; 



2". les sections planes .S,, Sy et 6'; (§ 12) et 3" peut-être des 

 branches de la courbe nodale restante |' (J;; 13). 



La génératrice ^, est équivalente à 



"> I ' = i ('• — 1 ) (''• + wi — 3) + n{q, — \)[: 2 



génératrices doubles w'. 



La section S. est une courbe nodale dont le dégre de inulti])li- 

 cité est (/, et dont réquation est (>; 12) 



') Halphen. Mém. d. l'Ac. d. Paris (s:iv. Otr.). T. 26, p. 42, p. 50. 



