POINTS SINCUMEKS DKS (;()L'RHi•;^; CAUCIIKS. '291 



noeuds dûs à la i-encontre d'autant <\r livanclies de la nodale i". 

 On a donc le théorème : 



Par le point. jV, il passe n N branches de la courbe 'nodale 'i'. 



Sauf pour les '2 valeurs rp = et <p ^ u : 2, qui viennent d'être 

 exlues, on trouve pour chaque valeur de q le même nombre de 

 noeuds réunis au point 3/,, donc aussi le même nombre de points 

 eonnnuns du plan sécant et de la courbe 'i'. Par conséquent, le 

 plan sécant y = xtg<p ne peut être tangent au point M^ à la 

 courbe g' que pour les valeurs <'/> = et g> = n : 2. Les tangentes 

 au branches de la courbe i' au point ilfj ne peuvent donc se 

 trouver que dans les plans i/ = et x = 0. La courbe .5' se trouvant 

 sur la développable IJ, les tangentes à la courbe â' au point .1/, 

 se trouvent dans le plan tangent au point 71/, à la développable 

 IX Ce plan tangent est le plan z = 0. 



Les branches de la courbe §' passant par le point j¥, sont 

 donc, ou tangentes à l'axe des x, ou à l'axe des y. Je démontrerai 

 au § suivant que ces branches ne sont pas tangentes à l'axe des 

 y, par conséquent, elles sont tangentes à l'axe des x, résultat 

 (ju'on obtiendra encore d'une autre manière au § 24. 



v^ IG. De l'intersection de la développable D avec le jilan z = xt(j f . 



Pour vérifier si l'axe des Y est tangente au point il/, à des 

 branches de la courbe nodale i', coupons la développable D par 

 un plan z = xtgfp passant pai- l'nxc des )'. 'i'i-ansfornions les 

 (îooi'données par les formules 



Xi =x cos (p -t z sin 'p, 



î I = X si 71 (p {- '. COS (p. 



Les coordonnées nouvelles d'un point di' la développable /' 

 sont alors 



x^ = \t" -¥lnt"'^\ cos<p + } /, " '*" '' "*" "'+ l {n + r + m) t"^''^ '" ~' j si.n (p, 



?/i = t" ''' + l{n + r) i!" + '~\ 



~, -- — |/" 4- ??i<"~'|. TOtr + l«""^ '■*■'"+ l{n + T + m)t"^''^""^\cos<p. 



Pour tout point du plan sécant s^xtgip on aura ::, =0, cequi 

 donne la relation suivante entre les paramètres / et t des points 

 de la développable /), lesquels se trouvent dans le plan z = x(g(p, 



i" + '+-" + /(^i-Hr + m) t"'^"^""'^{t" -h Int"^') tgrp, 



