l'OINTS SINÜUJ.IRIIS UKS COURBES GAUCHES. 293 



consécutifs. Chaque point de la section .S', , la({Uüll(j est une 

 courbe nodale dont le degré de multiplicité est g^, équivaut ä 

 r/j (q-i — 1):2 points doubles. Les points que l'axe des i/, donc 

 également le plan sécant z = xtg(f>, a de commun avec la courbe 

 nodale S, sont donc équivalents à {n -\- r -»r m) (q-^ — 1) : '2 noeuds 

 de la section S._,. En diminuant le nombre des noeuds 



^2 = \{n + r — 1) (w + r + m — :î) + (r -h ra) (q.^ — 1)! : 2, 



équivalent au cycle 3/, (/i + r, m), de.s nombres de noeud.s dûs à 

 la rencontre des lignes nodales <7,, S':, S',, et S'^ il reste encore 

 n N noeuds, qui sont dûs à la rencontre de branches de la nodale è'. 

 Le plan z = xtg<p rencontre donc au point M^ la courbe è' 

 autant de fois que le fait le plan ii=xtgcp (§ 15). Le plan z—-xlg<p 

 n'est donc pas tangent à la courbe 'i' au point i/,. Par con.'^é- 

 (juent, l'axe des y ne peut pas être tangent au point M^ à une 

 ou à plusieurs branches de la courbe 'è'. Les n N branches île la 

 courbe i' lesquelles yassent par le point M^, y sont donc tangentes 

 à Taxe des x (§ 15), cest à dire sont tangentes au point ,¥, à la 

 courbe G{n,r,m). De même on trouve que les mN branches delà 

 courbe g', lesquelles passent par le point- M 2, ne sont pas tangentes 

 à la droite de l'infini du plan y^O et que, par conséquent, ces 

 m, N branches y sont tangentes à la génératrice g.^. 



Nous venons de voir que les coordonnées d'un point de la section 

 S;, s'expriment en fonction du paramètre t de la manière suivante 



^ _ _ ( r + m)r + '"^ '" .\^_{n + T + m) <'' + '") 

 ' n sin cv 'I n tg q, I ' 



y = _^Jl^-\ + "^l^i . Il _ {n + r + m}t'-^i 

 ^ ' n I rtgq,\- j n tg >v \- 



Rendons les coordonnées homogènes et posons après //,=! 

 on obtient: 



^^ n \^_ jn + T + mt'-'i . i j _^ mt^j 



' r<" "( ntgq> ( ' j r fg ,f ^' 



' r sinq, ' 1 r tg (p i' 



En remplaçant t par 1 : t ces expressions deviennent 



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