294 POINTS SINGULIERS DKS COURBES GAUCHES. 



{n + r + m) i" "^'' L n tg cp f'"^'" _ L rjg (+■ t^ ' 



n + r + m\ 



(r + m)t''_ _\^ _^ '^J9^_£ll 



' m cos If 



dont on déduit facilement 



.., == r , u. = T-- + !lÇ:±J^)J^_'^' r-^-" + etc. . 



2 ' '■ m (w + r + m 



Le point M^ (a; = u=^c = 0), c'est à dire le point à l'infini de 

 l'axe des // est donc un point singulier de la section S,^. Les r 

 branches de la section /S", lesquelles passent par le point M^ y 

 constituent un C3^cle M^{r,n). Le c^^cle M^{r,n) est équivalent 

 à r — 1 points stationnaires, qui sont dûs au passage par le point 

 M^ de la génératrice singulière g^, tangente à la courbe C{n,r,m) 

 au point M\{m,r,n) (§ 10). Le cycle M^{r,n) est équivalent au 

 nombre de noeuds suivant 



^5/ = |(r — 1) {n + r — 3) + (r + m) (./;, — Dj : 2. 



Par le point y//^ il passe la génératrice g^ et la section -S-, qui 

 sont des lignes nodales et peut-être encore des branches de la 

 courbe nodale g'. L'équation de la section «SI étant (§ 12) : 



j {n + r -r- m)x \ </. ( (n + r + m) 2/ 1 «■ 

 I r + m * ' m I 



le point .'!/, (.r = s = vt = 0) est un point singulier de la section 

 S. où passent r:ç, branches fi>rniant un cycle l~^ > ) • Le degré 



de multiplicité de la section Ä étant q^, les »■:</, branches de la 

 section S,, sont équivalentes à r((/, — 1):2 branches de courbes 

 doubles. La section .Sj possède donc au point M^, r(g, — L) : 2 

 noeuds dûs au passage par le point M^ des r:q, branches de la 

 section S. . La section 82 possède au point /I/^ encore 



w./= \(r—l){n + r — 3) 4- m«/, — Dj :2 



noeuds dûs au passage par le point A/^ de la génératrice singu- 

 lière gr, (§ 10). La somme des nombres de noeuds dûs à ^r^ et 

 S; étant précisément ô/, il no passe pas par le point M,, des 

 branches de la courbe nodale 'i'. 



On peut conclure par analogie, ou démonti'er de la même 



