296 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



Sy avec l'axe des x se trouvent tous au point J/j. Les seuls points 

 singuliers de la section S,, sont les points vW, et M.^, par consé- 

 quent, si 5', ^ 1 la courbe nodale §' rencontre la section S,' seule- 

 ment aux points Mi et M^. 



Quand q,^>l, tous les points de la section Sy sont des points 

 multiples de la section totale avec le plan y =^0 et il serait 

 possible que la courbe nodale 'é' passerait par un point ordinaire 

 P de la courbe Sy . Ce point P étant un point ordinaire de la 

 courbe Sy , il passe par le point P q^ nappes de la développable 

 D. La branche de la courbe nodale è' passant par le point P, 

 serait l'intersection de 2 de ces q^ nappes. Ces 2 nappes seraient 

 tangentes au point P et le point P serait un point de pincement 

 (pinch-point, klempunt) sur la courbe nodale Sy . Un des plans 

 tangents à la développable D au point P serait donc un plan 

 double G. Mais nous avons vu au § 8 que les seuls plans doubles 

 G de la courbe G {n, r, m) sont les 2 plans singuliers : ^ et u = 0. 

 Par conséquent, sur la section Sy ne se trouvent pas des points 

 de pincement P en dehors des points de conclact M^ et M^ des 

 plans singuliers 2^0 et u^ 0. En résumant, on obtient le 

 théorème: 



Le plan y = rencontre seulement la courbe nodale 'è' aux points 

 singuliers M^ et M,. 



De même on trouve que le plan x^O rencontre la courbe 

 nodale 'i' seulement aux points yf/, et M^. La courbe s' ne rencon- 

 trant les plans // = et x = qu'aux 2 points M , et .¥, et les 

 tangentes g^ et g^ aux branches de ^' aux points M^ et il/, 

 n'étant pas dans un plan, il est impossible que la courbe g' ou 

 une partie de cette courbe soit plane. On a donc le théorème: 



La courbe S' est une courbe gauche. 



La courbe 'i.' est du degré (% + r + m) N (§ 13). Elle rencontre 

 le plan 2/ = au point M^ seulement m N fois, puisque la tangente 

 gf, aux mN branches de §' les quelles passent par le point M 2, 

 ne se trouve pas dans le plan 2/ =^ (§ 16). Le plan y = rencontre 

 donc la courbe £' au point i¥, (n + r) N fois, tandis qu'un plan 

 quelconque passant par l'axe des z rencontre au point i/, la 

 courbe g' seulement ?i. N fois (§ 15). Dans le plan y = se trouvent 

 donc des tangentes au point ^, à la courbe 'é', et le plan y = 0, 

 étant le seul plan du faisceau y^^xtgq,, jouissant de cette propriété 

 (§§ 15, 16), on peut conclure que toutes les tangentes à la courbe 



