298 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



on trouve facilement que les coordonnées d'un point de la section 

 S^, situé dans le VMjisinage du point M^, sont exprimées par les 

 développements 



X. = T", V. = T— ■ + i^±j:)±±l±I^) T"--.- + etc. . 



Les n branches de la courbe 'S3, passant par le point singulier 

 M^ (correspondant au paramètre T = 0), forment donc un cycle 

 (11, r + m). Ce cycle {n, r + m) est équivalent à 7i — 1 points station- 

 naires de la section S.^ tandis que l'arête de rebroussement C{n,r,m) 

 a de commun au point ili, n + r points consécutifs avec le plan 

 sécant (§ 3). En général, chaque point de l'arête de rebroussement 

 est un point stationnaire d'une section, sauf dans le cas que le 

 plan sécant est tangente à l'arête de rebroussement, les 2 points 

 consécutifs communs donnant 3 noeuds de la section totale. Le 

 plan sécant z = y tg >f , passant par la tangente au point M^ à 

 l'arête de rebroussement C {n, r,m), nous nous trouvons dans le 

 cas d'exception et des points de l'arête de rebroussement donnent 

 lieu à des noeuds de la section S.^-{-g^. Le cycle M^ {n,r-i-m) 

 est équivalent (§ 7) à le nombre de noeuds 



S.^ = j(7i — l)(7i+/--f-m — 3) + m (g,. — l)j:2. 



Remarquons qu'on trouve la même valeur de d.^ povir toute 

 valeur de qi sauf pour les 2 valeurs gp = et <!• ^ n : 2. Les seuls 

 plans du faisceau z^=ytgip qui peuvent donner un nombre supé- 

 rieur de noeuds sont donc les plans z = et y = et en effet 

 ces 2 plans contiennent les courbes multiples Ä et Sy et contien- 

 nent des nombres infinis de noeuds. Les plans 2 = et y =^0 

 sont donc les seuls plans du faisceau z ^y tg '/ qui peuvent être 

 des plans osculateurs des n N branches de la courbe 'é' tangentes 

 au point M^ à l'axe des x (§ 17). 



Afin de connaître le nombre de points communs de la courbe 

 I' avec le plan sécant z=^ y tg q> lesquels co'ïncideut avec le point 

 Mj, déterminons de 2 manières le nombre des noeuds de la 

 courbe S'-^ '). 



La section totale consiste en la courbe xS".. et en l'axe des x 

 compté r fois (§ 10). La courbe xS., est donc du degré q — /•, 



') Cremona- CuRTZE, Oberflächen. § 97— § 109. 



