300 POINTS SINGULIERS HKS COURBES GAUCHES. 



branches comptent pour r {q., — 1) : 2 branches doubles. En dehors 

 de l'axe des x, le plan sécant rencontre donc la courbe nodale | 

 le nombre de fois suivant 



S— yl/i —r(q, — 1) :2. 



Le point à l'infini M .^ de l'axe des x n'est pas un point de la 

 section S.^ et nous venons (ie voir que le point J/, compte pour 



d^ = \{n — 1) (n + r + m — 3) +m{q^ — 1) i : 2 



noeuds de la section S.^. 



Le nombre des noeuds de la section S.^ est donc 



S= -é + œ' — M ^ —r{q ^ — i) : 2—\{r—\){r+m—3) + n{q.,—\)\ :2 + 

 + ]{n — \) (n + r + m — 3) + m {q^ — \)\ : 2 (B) 



En égalisant les 2 valeurs A et B do (^ on trouve facilement 



Mj = |(7H-r) (7i + 2r + m — q^ — S)-\-m{q,^ — 1)| : 2. 



Les iVj points d'intersection du plan sécant avec la courbe 

 nodale § sont des points appartenant aux courbes §\ >S, , Sy et 

 S.. Par le point Mj du plan sécant, il passe (7i + r):q.. branches 

 de la courbe nodale ä"|, laquelle est une courbe d'un degré de 

 multiplicité q.. (§ 12). Des vl/, points d'intersection il y a donc 

 {n + T){q^ — i):2 qui appartiennent à la section plane a,.. 



Par le point M^ il passe n:q^ branches de la courbe Sy , les- 

 quelles sont tangentes à l'axe des x et qui sont donc également 

 tangentes au plan sécant z^=ytgij:. Le plan sécant a de commun, 

 au point M^, {n-+ r + m): q^ points consécutifs avec la courbe Sy . 

 Chacun de ces points compte pour q,,(,qi, — 1):2 points d'une 

 courbe double Du nombre d'intersections M^, il y a donc 

 {7i + r + m) iq^ — 1) : 2 qui appartiennent à courl)e S,, 



Par le point M^ il passe n-.qi branches de la section plane 

 S. . Ces branches, étant tangentes à l'axe des x, sont tangentes au 

 plan sécant. Ce plan a de commun avec la section S^ {n + r) : q^ 

 points coïncidant avec le point M, (§ 12). Chacun de ces points 

 compte pour g, (g, — 1) : 2 points d'une courbe double. Des Mj 

 points d'intersection avec des courbes nodales il y a donc {71 + r) 

 (Çj — 1) : 2 qui appartiennent à la courbe ä . 



En diminuant 



M, = \{n +r) {n + 2r + m — q., — 3) + m{q^ — l)î : 2 



