POINTS SINGIJLIEIIS DKS CüUllBKS GAUCHES. 301 



des nombres 



(/A + r) (7, — 1) : 2, (7^ +r + ni) {7,, — 1) : 2, (// + r) (7, — 1) : 2 



011 Irouvr Ic nombre «los intersections rennies an point M,, «lu 

 |)l;iii :- ;'/'ƒ/'/ nvec la «tourbe nodale .;'. La diilerenee est 



[H + r) (n + 2r -^ m. — 7 , — (j., — 7., — 7,,) : 2 = (/*. + r) N. 



Ce résultat étant exact pour tout plan passant par l'axe des 0;, 

 sauf pour les plans z = et 2/ = 0, on obtient le théorème: 



L'axe des x a de commun au poiiU .1/, avec la courbe nodale 'è' le 

 nombre de (v + r) N pointa. 



De même on trouve '[ue la uénératriee 7.^ tangente à la courbe 

 r' (7/, ?•, 7u) au point lU, a de commun au point .1/^ avec la courbe 

 nodale i' le nombre de {r -^ m) N points. 



§ 19. Du plan osculateur à la courbe nodale i' au jmnl jl/",. 



Nous venons de voir au § 18 (jue chaque plan z = n ig (i> du 

 faisceau, dont la génératrice ,7,, tangente à la courbe nodale S' au 

 point !ƒ,, est l'axe, rencontre la courbe s' au point il/, le noml)re 

 de fois (n + r) N. La démonstration tombe en «léfaut pour les plans 

 2 = et y = (§ 18). Au § 17 nous avons vu «[ue le plan // = 

 rencontre au point 1/, la courl)e 'i' seulement {n + r) N fois. Oe 

 plan y^=^0 n'est donc pas un plan osculateur de «pielques unes 

 des n N branches de la courbe $'• IjP plan s = est donc le plan 

 osculateur an point ;!/, «le toutes les uN branches de la courbe 

 ^'' passant par le point ^/^. 



Déterminons le nombre des intei'sections du plan z = avec la 

 courbe 'i', coïncidant avec le point J/,. Par un raisonnement 

 analogue à celui du i; 17 n(ms trouverons que le plan z = 

 rencontre la courbe 'i' seulement au point ^/^. En effet, l'inter- 

 section totale du plan ^ = avec la développable D consiste en 

 l'axe des x (unnpté r + m lois et en la courbe /S". , «lont ré<|uation l'st 



I (n + r + m) x\ 7. \ (n + r + m)y \ -/. 



et qui est une courbe nodale dont le «legré de multiplicité est 7,. 

 L'axe des x rencontre la courbe ë' seulement au point .V, (§ 17). 

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