302 VOINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



La section S- ne peut rencontrer la courbe g' qu'aux 2 points 

 singuliers il ^ et iV/^ de cette courbe (§ 17) et en ses points de 

 rencontre avec l'axe des x, puisque les seuls plans doubles G sont 

 les plans 2 = et w = 0. Par le point singulier M,, de la courbe 

 S- il ne passe d'autres lignes nodales que la génératrice singulière 

 (/2 et les branches de la courbe nodale S^ elle même (§ 16). La 

 génératrice ^, rencontre la courbe -5". seulement au jwint il/,, par 

 conséquent, la courbe S, ne rencontre le plan z^O qu'au point 

 J/j. La courbe 'é' étant du degré S' = (vi -i- r + ?h) iV, la coui'bo 

 è' a de commun au point /V, ce nombre 'è' de points avec le 

 plan ^ = (§ 13). 



De même on trouve que les mN branches de la courbe i' 

 passant par le point M.,, y ont de commun 'i' points avec le plan 

 îi = osculateur à ces m iV branches et à les branches de la 

 courbe Cin,r,m). 



En résumant les résultats obtenus aux ï^i; 15 — 19 ou obtient: 

 Par le 'point singulier il/, (n,r,m) il passe 7i X branches de la 

 courbe nodale gauche §'. Ces branches y sont tangentes à la tangente 

 g , de la courbe G (n. r, m) et y ont de commun avec cette tangente 

 (n + r) N points. Le plan osculateur de la courbe C{n,r,'in) nu point 

 7l/,, y est également le plan osculateur de toutes les branches d,e la 

 courbe 'è' . Ces branches y ont de commun avec ce flan osculateur 

 yv, + r + m) N points. 



Pour le second point singulier ili, on trouve les mêmes résul- 

 tats sauf le changement de n en m et vice-vorsa. 



§ 20, Des intersections des courbes <S',, et S, avec a- D 



Quand les courbes d'intei'section S, , ^S',, , S. et Ä^ de la dévelop- 

 pable D avec les faces du tétraèdre de référence (§ 12) sont des 

 courbes triples ou sont d'une multiplicité supérieure à 3 ces 

 courbes nodales se trouvent toutes entières sur la deuxième surface 

 polaire i^- D àe la développable I) prise par rapport à un point 

 quelconque P (§ 11). Tout point d'une de ces courbes multiples 

 est alors équivalent à un ou à plusieurs points triples r ') de la 

 développable D et de la courbe nodale, et le nombre r de ces 

 points triples est alors infiniment grand. Les projections P, , Py 



') Cremoha-Cdrtze, Oberflächen, % 97. 



