306 POINTS SINGULIERS DES COURBKS GAUCHES. 



.1/, et M .^ et la génératrice g^ ne rencontrant la courbe ^',; qu'au 

 point yl/j, les seuls points de la courbe ^,j qui sont des points 

 triples de la développable D sont les 2 points -1/, et M^_. La courbe 

 iS,, ne rencontre donc la surface a 2 J) qu'aux points ^l^, M^ et C. 

 La développable D étant du degré c = // + 2r + m (§ 4), la sur- 

 face a2 d est du degré {71 + 2r + m — 2). La courbe S^ étant du 

 degré {n + r + m) : 2, le nombre total des intersections de la courbe 

 'S',, avec la surface A- D est (w + 2r + m — 2) {n + r + m) : 2, cequi 

 doit donc être égal au nombre des intersections réunies aux points 

 J/j , il/, et C. Le point .V, comptant pour {n + r — 2) {n + r + m) : 2, 

 le point -l/.j comptant pour (/• + m — 2) (/i + r + m) : 2 et les 

 {n + r + m) : 2 points C comptant pour n + r + m intersections, 

 les points -1/,, 31^ et C comptent, en eilet, pour {n +ßr + m — 2) 

 {71 -i- r + m) : 2 intersections de la courbe ^,, avec la surface a- Ü. 



Déplaçons maintenant le point P en dehors du plan y =^0. Le 

 nombre total des intersections restera le mêuie. Le nombre des 

 plans tangents à la développable D et passant par le point P 

 sera /« = 7t + r -h m (§ 4). Une génératrice de contact d'un tel 

 plan II rencontrant une fois la courbe plane S^ , le nombre des 

 points G sera 71 -t- r -l- m ; P étant maintenant quelconque, donc ne 

 se trouvant pas dans les plans osculateurs de la courbe C {n, 1\ m) 

 aux points singuliers 31 ^ on ^1/^, aucun de ces points C ne coïncide 

 avec un des points V, on 3L,. D'après Cremona chacun de ces 

 points G compte pour une intersection de la courbe nodale avec 

 la surface A^ /^ i). 



Le nombre des intersections non-coincidantes avec un des points 

 .1/, et -l/j *^ä^ donc comme pour le cas que P se trouve dans le 

 plan y ^0, encore 71 -\- r + m. La somme des nombres d'intersec- 

 tion -1/j et 31^ réunies aux points -1/, et 3f.^ n'est donc pas 

 changée par le déplacement du point P. Je dis que les nombres 

 ^[^ et M., ne sont pas changés non plus. En effet, il est impossible 

 (|ue le nombre 31 ^ soit plus grand pour P quelconque que pour 

 le cas que le jjoint P se trouve dans le plan y = 0, puisqu'on 

 peut toujours ramener la détermination du nombre 31^ à la 

 détermination du nombre des racines nulles d'une équation en t, 

 obtenue en substituant dans l'équation de la surface les dévelop- 

 pements en t donnant les coordonnées d'un point de la courbe. 

 On obtient donc le nombre des intersections cherché en détermi- 



') Cremona -Cdrtze. Oberflächen, § 99. 



